Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:10 So 25.11.2007 | | Autor: | balboa |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Konvergenz der folgenden Reihen
a) [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\wurzel{\bruch{1}{2}+\bruch{1}{k}} [/mm]
b) [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{\wurzel{k!}} [/mm] |
Ich bin wie folgt vorgegangen:
a)[mm]\summe_{k=1}^{\infty}\wurzel{\bruch{1}{2}+\bruch{1}{k}} = (\bruch{1}{2}+\bruch{1}{k})^{\bruch{1}{2}}[/mm] über das Wurzelkriterium erhalte ich [mm]\bruch{1}{2}+\bruch{1}{k}[/mm] was gegen [mm]\bruch{1}{2}[/mm] läuft und somit <1 und absolut konvergent ist.
Liege ich mit meiner Ausführung richtig oder habe ich etwas nicht beachtet?
b)[mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{1}{\wurzel{k!}}[/mm] habe ich umgeformt zu [mm]k!^{-\bruch{1}{2}}[/mm], was divergiert, da es keine Nullfolge bildet.
Auch hier die Frage: Liege ich mit meiner Ausführung richtig oder habe ich etwas nicht beachtet?
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:35 So 25.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo balboa!
Handelt es sich bei der 1. Aufgabe mit [mm] $\wurzel{\bruch{1}{2}+\bruch{1}{k}}$ [/mm] überhaupt um eine Nullfolge, so dass das notwendige Kriterium für Reihenkonvergenz erfüllt ist?
Bei Aufgabe b.) liegst Du auch falsch mit Deinen Ausführungen. [mm] $\bruch{1}{\wurzel{k!}}$ [/mm] ist eine wunderbare Nullfolge. Wende hier das Quotientenkriterium an.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 So 25.11.2007 | | Autor: | balboa |
Hallo Loddar,
zu a)
du hast Recht, ich habe übersehen, dass es keine Nullfolge ist, da es nicht unter den Wert [mm]\wurzel{\bruch{1}{2}}[/mm] sinken kann.
zu b)
Wenn ich das Quotientenkriterium anwende erhalte ich doch [mm]\wurzel{\bruch{k!}{(k+1)!}}[/mm]. Läuft das nicht gegen 1 und hat keine Aussage für die Reihe?
Auch wenn ich es wie folgt umschreibe sehe ich keine andere Lösung als 1: [mm]\wurzel{\bruch{k!}{k!\times (k+1)}}[/mm].
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:25 So 25.11.2007 | | Autor: | balboa |
Danke,
mein Problem war, dass ich k=0 gesetzt habe und dann entsprechend [mm]\bruch{1}{1}[/mm] dort stehen; aber da k ja gegen [mm]\infty[/mm] strebt nähert es sich gegen 0.
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Läuft das nicht gegen 1 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
und
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
