Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:27 Mo 03.12.2007 | | Autor: | Elfe |
| Aufgabe | Sei [mm] (a_{k}) [/mm] eine Folge positiver reller Zahlen und [mm] \summe_{k=1}^{\infty} a_{k} [/mm] = [mm] \infty. [/mm] Was lässt sich über die Konvergenz der folgenden Reihen aussagen?
a) [mm] \summe_{}^{} \bruch{a_{k}}{1+a_{k}}
[/mm]
b) [mm] \summe_{}^{} \bruch{a_{k}}{1+k*a_{k}}
[/mm]
c) [mm] \summe_{}^{} \bruch{a_{k}}{1+k^{2} a_{k}}
[/mm]
d) [mm] \summe_{}^{} \bruch{a_{k}}{1+a_{k}^{2}}
[/mm]
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Hallo,
also ich komme bei der Aufgabe nicht so recht weiter. Ich weiß ja, dass die Reihe der [mm] a_{k} [/mm] divergent ist. Aber wie ich das in Verbindung bringe mit den anderen Reihen, das weiß ich nicht so wirklich.
Ich hab versucht eine Folge zu betrachten, deren Reihe divergent ist und die aus positiven reellen Zahlen besteht. Das wäre ja z.B. [mm] \bruch{1}{k}. [/mm] Aber zum Beispiel auch k oder so.
Also ich wäre echt dankbar für einen kleinen Hinweis. Nicht gerade die Lösung, die will ich ja wohl schon selbst rauskriegen, aber so einen Hinweis...
lg Elfe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:58 Di 04.12.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Elfe!
Steht da wirklich [mm] $\summe_{k=1}^{\infty} a_{k} [/mm] \ [mm] \red{=} [/mm] \ [mm] \infty$ [/mm] und nicht etwa $... \ [mm] \red{<} [/mm] \ [mm] \infty$ [/mm] ?
Denn so halte ich die Aufgabe für nicht lösbar.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:20 Di 04.12.2007 | | Autor: | Elfe |
Nene, da steht schon das gleich, das find ich ja auch alles etwas komisch eben.
Aber was wäre denn, wenn ich annehme < [mm] \infty [/mm] ? Dann würd ich sagen das ist ne Nullfolge und damit versuchecn die anderen rauszukriegen, oder wie?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:28 Di 04.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Elfe!
> Nene, da steht schon das gleich, das find ich ja auch alles
> etwas komisch eben.
> Aber was wäre denn, wenn ich annehme < [mm]\infty[/mm] ? Dann würd
> ich sagen das ist ne Nullfolge und damit versuchecn die
> anderen rauszukriegen, oder wie?
Dann könntest du das Majorantenkriterium anwenden. Das alle Reihenglieder positiv sind, ist zum Beispiel
[mm] 0 < \bruch{a_k}{1+a_k} < a_k [/mm]
Umgekehrt könntest du bei einer divergenten Reihe das Minorantenkriterium anwenden, nur sehe ich auch nicht, wie das bei diesen Reihen gehen soll.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo an alle!
...also das mit der Majorante seh ich auch, aber wie würde ich zB die Umkehrrichtung beweisen:
also ich weiss dass
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{a_{k}}{1+a_{k}} [/mm] konvergiert, und soll zeigen dass
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} a_{k} [/mm] ebenfalls konvergiert.
Hab keine Idee außer nem kleinen Ansatz dass ja dann die Folge [mm] \bruch{a_{k}}{1+a_{k}} [/mm] gegen 0 konvergiert.....
Viele Grüße!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:35 Do 06.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo Elfe!
Bei Aufgabe a.) hätte ich eine Idee. Durch Umformung erhält man:
[mm] $$\bruch{a_k}{1+a_k} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{a_k}+1}$$
[/mm]
Kann dies (für positive [mm] $a_k$ [/mm] ) eine Nullfolge werden, um das notwendige Kriterium für Reihenkonvergenz zu erfüllen?
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:53 Di 04.12.2007 | | Autor: | Elfe |
Hallo !
>
> Bei Aufgabe a.) hätte ich eine Idee. Durch Umformung erhält
> man:
>
> [mm]\bruch{a_k}{1+a_k} \ = \ \bruch{1}{\bruch{1}{a_k}+1}[/mm]
> Kann
> dies (für positive [mm]a_k[/mm] ) eine Nullfolge werden, um das
> notwendige Kriterium für Reihenkonvergenz zu erfüllen?
>
Okay, also ich verstehe deine Umformung. Hab mir jetzt mal meine Beispiele genommen um mir das vielleicht mal anzugucken. Ich hab einmal die Folge [mm] a_{k}= [/mm] k und [mm] a_{k}=\bruch{1}{k} [/mm] Bei beiden ist ja [mm] \summe{}^{} a_{k} [/mm] = [mm] \infty. [/mm] Hab ich das so richtig verstanden?
So, bei der Folge der k wird das keine Nullfolge sondern geht eher gegen 1 würd ich sagen. Bei der Folge der [mm] \bruch{1}{k} [/mm] wäre es eine Nullfolge. JEtzt bin ich verwirrt...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:55 Do 06.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:29 Di 04.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du willst ja aus der Divergez auf die kon oder Div , der anderen Folgen schliessen.
d.h. wenn ..dann. wenn du [mm] a_k=1 [/mm] für alle k nimmst ist die Vors erfüllt, und du siehst direkt dass 3 deiner Reihen dann auch divergent sind. die sind damit erledigt.
Du musst nicht eine Reihe suchen, sodass dann unter zusätlichen Vors an die [mm] a_k [/mm] dann evt doch mal konvergenz gilt!
bleibt die Reihe mit [mm] k^2 [/mm] im Nenner!
da solltest du durch [mm] a_k [/mm] kürzen, und dann überlegen was für die verschiedenen ak Möglichkeiten passiert.
Gruss leduart
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(Frage) überfällig | | Datum: | 20:02 Di 04.12.2007 | | Autor: | MaRaQ |
So. Ich sitze momentan an der identischen Aufgabe und habe obendrein den Tipp bekommen, dass man am Ende wohl jeweils zeigen muss, dass die Reihe konvergiert - und ein mal, dass sie divergiert.
Sprich, dass man nichts aussagen kann.
Bleibt nun die Frage, wie man das anstellt.
Ich hatte mir auch überlegt, das mit der harmonischen Reihe und der Reihe der k's zu zeigen, aber so ganz komme ich da bei jeder Aufgabe nicht hin...
Nunja, vielleicht hilft dir ja der Tipp weiter ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:00 Fr 07.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> Sei [mm](a_{k})[/mm] eine Folge positiver reller Zahlen und
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} a_{k}[/mm] = [mm]\infty.[/mm] Was lässt sich über
> die Konvergenz der folgenden Reihen aussagen?
>
> a) [mm]\summe_{}^{} \bruch{a_{k}}{1+a_{k}}[/mm]
>
Hallo Elfe!
Ich hab' bei a) zwei Fälle unterschieden: 1. Fall: [mm] (a_k) [/mm] keine Nullfolge, 2. Fall: [mm](a_k) [/mm] Nullfolge.
Im 1. Fall ist [mm] \bruch{a_{k}}{1+a_{k}}[/mm] auch keine Nullfolge, und somit ist die Reihe divergent.
Im 2. Fall sind ab einem Index [mm] k_o [/mm] alle Folgenglieder [mm] a_k [/mm] kleiner als 1. Diese Folgenglieder erfüllen die Ungleichung [mm] \bruch{a_{k}}{2} < \bruch {a_k}{1+a_k } [/mm]. Aber die Reihe [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{a_{k}}{2}[/mm] ist natürlich immer noch divergent, also auch die Reihe bei a)
Die Reihe a) ist also divergent.
b) - d) müssten ähnlich funktionieren.
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zu c)
Es gilt: [mm] \bruch{a_{k}}{1+k^{2} a_{k}} [/mm] < [mm] \bruch{1}{k^2}
[/mm]
und [mm] \summe_{}^{} \bruch{1}{k^2} [/mm] ist ja konvergent, also auch [mm] \summe_{}^{} \bruch{a_{k}}{1+k^{2} a_{k}}
[/mm]
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Ich hab's bei b) mit dem Ansatz probiert:
Eine Reihe [mm] \sum a_k [/mm] ist divergent, falls gilt:
[mm] \bruch{a_{k+1}}{a_k} \ge [/mm] 1- [mm] \bruch{1}{k}
[/mm]
Das z.z., falls die Ausgangsfolge fallend ist, hab' ich leider nicht geschafft...
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