Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:08 Mi 26.11.2008 | | Autor: | aimz |
| Aufgabe | Prüfen Sie die folgenden Reihen auf Divergenz oder Konvergenz:
a)[mm] \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^n *\bruch{27n^3+12n+5}{8n-3n^4+26} [/mm]
b)[mm] \sum_{k=0}^{\infty} *\bruch{35n^2+9n^4+3n^3+7}{19n+27n^3+13} [/mm] |
Hallo zusammen,
Ich befasse mich gerade mit der Konvergenz bei Reihen habe dazu nun ein paar kleinere Fragen.
Zunächst generelle Fragen zu Reihen bzw. Konvergenzkriterien:
-Ich kenne folgende Kriterien:
1) geometrische Reihen (z.B. |x| < 1 --> Reihe konvergent). In diesem Beispiel ist der Grenzwert: [mm]*\bruch{1}{1-x}[/mm].
2)Quotientenkriterium
3)Wurzelkriterium
4)Leibnizkriterium
5)Majoranten- / Minorantenkriterium
Gibt es eine Faustregel, wann ich welches Kriterium anwenden sollte? Also rein logisch, würde ich das Leibnizkriterium immer anwenden sobald [mm](-1)^n[/mm] auftaucht. Bei den anderen bin ich mir da immer nicht so sicher.
All diese Kriterien sind da um eine eventuelle Konvergenz zu beweisen, wie sieht es aber aus, wenn die Reihe divergent ist? Kann ich das irgendwie im Voraus überprüfen, so dass ich garnicht erst versuchen muss die Konvergenzkriterien anzuwenden?
Wie oben schon erwähnt kann man den Grenzwert einer geometrischen Reihe relativ einfach angeben. In meinem Skript finde ich zu den anderen Kriterien soetwas nicht. Muss der Grenzwert zwingend angegeben werden und falls ja, wie kann man ihn bestimmen?
Nun zu den Beispielaufgaben:
zu a) [mm](-1)^n [/mm] veranlasst mich dazu, dass Leibnizkriterium anzuwenden. Also überprüfe ich ob es sich bei [mm]*\bruch{27n^3+12n+5}{8n-3n^4+26}[/mm] und eine positive, monoton fallende Nullfolge handelt. Offensichtlich ist die Nullfolge aber negativ monoton steigend. In der Musterlösung wird nun einfach (-1) vor die gesamte Summe geschrieben und die Vorzeichen unter dem Burch ausgetauscht. Wenn das so möglich ist, dann müsste das Leibnizkriterium doch sowohl für positiv monoton fallende, als auch für negativ monoton steigende Nullfolgen gilt, oder ist das nicht richtig?
zu b)
Wie kann ich hier ganz schnell feststellen, dass die Reihe divergiert? Normalerweise gehe ich so vor: Ich betrachte die Reihe und versuche eines oder mehrere Konvergenzkriterien anzuwenden. Wenn die Reihe aber divergent ist und ich das irgendwie im Voraus sagen könnte, könnte ich mir die Vergleichskriterien ja sparen.
Meine Vermutung wäre, dass man den Grenzwert der Folge [mm]*\bruch{35n^2+9n^4+3n^3+7}{19n+27n^3+13}[/mm] bestimmt. Wenn dieser ins unendliche geht, dann ist auch die zugehörige Reihe [mm] \sum_{k=0}^{\infty} *\bruch{35n^2+9n^4+3n^3+7}{19n+27n^3+13} [/mm] divergent.
Nun schonmal vielen Dank für eure Hilfe!
Gruß aimz
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Florian,
> Prüfen Sie die folgenden Reihen auf Divergenz oder
> Konvergenz:
> a)[mm] \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^n *\bruch{27n^3+12n+5}{8n-3n^4+26} [/mm]
>
> b)[mm] \sum_{k=0}^{\infty} *\bruch{35n^2+9n^4+3n^3+7}{19n+27n^3+13} [/mm]
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> Hallo zusammen,
>
> Ich befasse mich gerade mit der Konvergenz bei Reihen habe
> dazu nun ein paar kleinere Fragen.
> Zunächst generelle Fragen zu Reihen bzw.
> Konvergenzkriterien:
> -Ich kenne folgende Kriterien:
> 1) geometrische Reihen (z.B. |x| < 1 --> Reihe
> konvergent). In diesem Beispiel ist der Grenzwert:
> [mm]*\bruch{1}{1-x}[/mm].
> 2)Quotientenkriterium
> 3)Wurzelkriterium
> 4)Leibnizkriterium
> 5)Majoranten- / Minorantenkriterium
>
> Gibt es eine Faustregel, wann ich welches Kriterium
> anwenden sollte?
Nein, so richtig nicht, aber wenn du Fakultäten in der Reihe hast, ist das QK oft hilfreich, weil sich viel wegkürzt, so ist zB. [mm] $\frac{(k+1)!}{k!}=\frac{(k+1)\cdot{}k!}{k!}=k+1$
[/mm]
> Also rein logisch, würde ich das
> Leibnizkriterium immer anwenden sobald [mm](-1)^n[/mm] auftaucht.
> Bei den anderen bin ich mir da immer nicht so sicher.
> All diese Kriterien sind da um eine eventuelle Konvergenz
> zu beweisen, wie sieht es aber aus, wenn die Reihe
> divergent ist? Kann ich das irgendwie im Voraus überprüfen,
> so dass ich garnicht erst versuchen muss die
> Konvergenzkriterien anzuwenden?
Ja, und zwar so wie du es in (b) machen solltest: Wie ist denn das Trivialkriterium für Reihenkonvergenz?
[mm] $\sum a_k$ [/mm] konvergent [mm] $\Rightarrow (a_k)_{k\in\IN}$ [/mm] ist Nullfolge, also mit Kontraposition:
[mm] $(a_k)_{k\in\IN}$ [/mm] keine Nullfolge [mm] $\Rightarrow \sum a_k$ [/mm] divergent
>
> Wie oben schon erwähnt kann man den Grenzwert einer
> geometrischen Reihe relativ einfach angeben. In meinem
> Skript finde ich zu den anderen Kriterien soetwas nicht.
> Muss der Grenzwert zwingend angegeben werden
nein, muss er nicht, wenn nur nach der Konvergenz/Divergenz gefragt ist
> und falls ja,
> wie kann man ihn bestimmen?
Das ist oft gar nicht möglich, was geht, ist eine Schranke anzugeben, wenn du zB. gegen eine konvergente Majorante abschätzt, deren GW du kennst.
Manchmal hast du Reihen, deren Glieder gebrochen rationale Ausdrücke sind, da kannst du dann ggfs. über Partialbruchzerlegung eine Teleskopsumme bilden und den GW der Partialsummenfolge (und damit den GW der Reihe) explizit angeben
>
>
> Nun zu den Beispielaufgaben:
> zu a) [mm](-1)^n[/mm] veranlasst mich dazu, dass Leibnizkriterium
> anzuwenden. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Also überprüfe ich ob es sich bei
> [mm]*\bruch{27n^3+12n+5}{8n-3n^4+26}[/mm] und eine positive, monoton
> fallende Nullfolge handelt. Offensichtlich ist die
> Nullfolge aber negativ monoton steigend. In der
> Musterlösung wird nun einfach (-1) vor die gesamte Summe
> geschrieben und die Vorzeichen unter dem Burch
> ausgetauscht. Wenn das so möglich ist, dann müsste das
> Leibnizkriterium doch sowohl für positiv monoton fallende,
> als auch für negativ monoton steigende Nullfolgen gilt,
> oder ist das nicht richtig?
Jein, es ist ja nur für Nullfolgen mit positiven [mm] $a_k$ [/mm] formuliert ...
Aber wenn du $(-1)$ ausklammerst und vor die Reihe ziehst, wie in der Aufgabe, machst du die [mm] $a_k$ [/mm] damit halt positiv
Wenn die Reihe [mm] $-\sum a_k$ [/mm] konvergent ist, dann ja auch [mm] $\sum a_k$
[/mm]
>
>
> zu b)
> Wie kann ich hier ganz schnell feststellen, dass die Reihe
> divergiert?
IMMER zuerst auf's Trivialkriterium schauen!!!
Ist die Folge der Reihenglieder eine Nullfolge?
Nein, die divergiert wegen der [mm] $n^4$ [/mm] im Zähler gegen [mm] $\infty$, [/mm] ist also nicht mal beschränkt, also ... (s.o.)
> Normalerweise gehe ich so vor: Ich betrachte
> die Reihe und versuche eines oder mehrere
> Konvergenzkriterien anzuwenden. Wenn die Reihe aber
> divergent ist und ich das irgendwie im Voraus sagen könnte,
> könnte ich mir die Vergleichskriterien ja sparen.
> Meine Vermutung wäre, dass man den Grenzwert der Folge
> [mm]*\bruch{35n^2+9n^4+3n^3+7}{19n+27n^3+13}[/mm] bestimmt. Wenn
> dieser ins unendliche geht, dann ist auch die zugehörige
> Reihe [mm]\sum_{k=0}^{\infty} *\bruch{35n^2+9n^4+3n^3+7}{19n+27n^3+13} [/mm]
> divergent.
Genau, das ist das Trivialkriterium, wenn die Folge der Reihenglieder keine Nullfolge ist, so divergiert die zugeh. Reihe
>
> Nun schonmal vielen Dank für eure Hilfe!
> Gruß aimz
>
> PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:58 Mi 26.11.2008 | | Autor: | aimz |
Hallo schachuzipus,
Danke für deine schnelle, ausführliche und sehr gut verständliche Lösung. Mir ist nun einiges klarer geworden!
Gruß
aimz
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