Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:30 Di 13.01.2009 | | Autor: | rororo18 |
| Aufgabe | Konvergieren die folgenden unendlichen Reihen
1) [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{4k^{2}-1}; [/mm] 2) [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-3)^{k}}{4^{k}}; [/mm] 3) [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(k^{2}+4k)^{-\bruch{1}{2}} [/mm] ?
Man berechne im Falle der Konvergenz die Reihenwerte. |
Hallo,
zu 1)
Ich habs mit dem Majorantenkriterium versucht:
[mm] \bruch{1}{4k^{2}-1}<\bruch{1}{k^{2}}
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k^{2}} [/mm] konvergiert, somit konvergiert auch 1)
Was mich irgendwie wurmt, ist die binomische Formel im Nenner und dass es so einfach mit dem Majoranten-Kriterium gehen soll.
zu 2)
Soll man die Sache mit dem Wurzelkriterium angehen? Dann wäre es relativ simpel.
zu 3)
Da habe ich leider gar keine Ahnung wie ich es angehen soll.
Das andere Problem sind die Reihenwerte. Wie kann man die berechnen. Ein Bsp. würde mir weiterhelfen.
//Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo rororo18 und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Konvergieren die folgenden unendlichen Reihen
> 1) [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{4k^{2}-1};[/mm] 2)
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-3)^{k}}{4^{k}};[/mm] 3)
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}(k^{2}+4k)^{-\bruch{1}{2}}[/mm] ?
> Man berechne im Falle der Konvergenz die Reihenwerte.
> Hallo,
>
> zu 1)
> Ich habs mit dem Majorantenkriterium versucht:
das ist ne gute Idee
> [mm]\bruch{1}{4k^{2}-1}<\bruch{1}{k^{2}}[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") bisschen grob, aber ganz und gar richtig!
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k^{2}}[/mm] konvergiert, somit
> konvergiert auch 1)
Sehr schön!
> Was mich irgendwie wurmt, ist die binomische Formel im
> Nenner und dass es so einfach mit dem Majoranten-Kriterium
> gehen soll.
Jo, warum nicht, die Tatsache, dass im Nenner die 3.binomische Formel steht, kannst du zur Berechnung des Grenzwertes benutzen
Unten mehr dazu ....
>
> zu 2)
> Soll man die Sache mit dem Wurzelkriterium angehen? Dann
> wäre es relativ simpel.
wieder eine gute Idee
>
> zu 3)
> Da habe ich leider gar keine Ahnung wie ich es angehen
> soll.
Schreibe die Reihe etwas um und schaue auf die "Größenordnung" der Reihe - so will ich das mal nennen
[mm] $\summe_{k=1}^{\infty}(k^{2}+4k)^{-\bruch{1}{2}}=\summe_{k=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{k^{2}+4k}}$
[/mm]
Und die Reihe ist doch, wenn du den höchsten Exponenten anschaust, von der Größenordnung [mm] $\sum\limits_k\frac{1}{k}$, [/mm] also eine divergente harmonische Reihe.
Versuche also, deine Ausgangsreihe nach unten abzuschätzen gegen eine (Variante) der harmonischen Reihe
Zum Verkleinern von Brüchen kannst du den Zähler verkleinern und/oder den Nenner vergrößern
>
> Das andere Problem sind die Reihenwerte. Wie kann man die
> berechnen. Ein Bsp. würde mir weiterhelfen.
Na, bei der 2) ist das doch einfach: Bedenke [mm] $\frac{(-3)^k}{4^k}=\left(-\frac{3}{4}\right)^k$
[/mm]
Stichwort: geometrische Reihe ...
Bei der 1) kannst du dir nun endlich die Tatsache zunutze machen, dass im Nenner die 3.binomische Formel steht
Schreibe [mm] $\frac{1}{4k^2-1}=\frac{1}{(2k+1)(2k-1)}$ [/mm] und mache eine Partialbruchzerlegung:
[mm] $\frac{1}{(2k+1)(2k-1)}=\frac{A}{2k+1}+\frac{B}{2k-1}$
[/mm]
Berechne das, dann kannst du deine Reihe schreiben als [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac{A}{2k+1}+\frac{B}{2k-1}\right)$
[/mm]
Dann bedenke, dass [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac{A}{2k+1}+\frac{B}{2k-1}\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\underbrace{\sum\limits_{k=1}^{n}\left(\frac{A}{2k+1}+\frac{B}{2k-1}\right)}_{:=S_n}$
[/mm]
Stelle mal eine solche n-te Partialsumme [mm] $S_n$ [/mm] auf, du wirst sehen, das ist eine "nette" Teleskopsumme, in der sich das meiste weghebt.
Dann mach den Grenzübergang [mm] $n\to\infty$ [/mm] und du hast deinen gesuchten Reihenwert
>
>
> //Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:52 Mi 14.01.2009 | | Autor: | rororo18 |
| Aufgabe | zu 1)
erster Teil im ersten Post
Reihenwertberechnung:
[mm] \bruch{1}{4k^{2}-1}=\bruch{A}{2k-1} [/mm] + [mm] \bruch{B}{2k+1}
[/mm]
Berechnung von A u. B:
1=A(2k+1)+B(2k-1)
für [mm] k=\bruch{1}{2} [/mm] eingesetzt [mm] \Rightarrow [/mm] 1=2A [mm] \Rightarrow A=\bruch{1}{2}
[/mm]
für [mm] k=-\bruch{1}{2} [/mm] eingesetzt [mm] \Rightarrow [/mm] 1=-2B [mm] \Rightarrow B=-\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{\bruch{1}{2}}{2k-1} [/mm] - [mm] \bruch{\bruch{1}{2}}{2k+1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{4k^{2}-1}=\summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{\bruch{1}{2}}{2k-1} [/mm] - [mm] \bruch{\bruch{1}{2}}{2k+1}) =\limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=1}^{n}(\bruch{\bruch{1}{2}}{2k-1} [/mm] - [mm] \bruch{\bruch{1}{2}}{2k+1})=\limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{1}{2}-\bruch{1}{2}(\bruch{1}{2n+3}))=\bruch{1}{2}
[/mm]
zu 2)
Beh.: [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-3)^{k}}{4^{k}} [/mm] konvergiert, Reihenwert = [mm] \bruch{4}{7}
[/mm]
Bew.:
Wurzelkriterium
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] \wurzel{|x_{k}|}=\limes_{k\rightarrow\infty} sup\wurzel[k]{|-\bruch{3}{4}^{k}|}=\bruch{3}{4}<1 \forall [/mm] k [mm] \in \IN
[/mm]
Somit konvergiert [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-3)^{k}}{4^{k}} [/mm] absolut und daraus folgt die Konvergenz der Reihe.
Reihenberechnung
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} (-\bruch{3}{4})^{k}=\bruch{1}{1+\bruch{3}{4}}=\bruch{1}{\bruch{7}{4}}=\bruch{4}{7}
[/mm]
zu 3)
Beh.: [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(k^{2}+4k)^{-\bruch{1}{2}} [/mm] divergiert
Bew.:
Minorantenkriterium
[mm] (k^{2}+4k)^{-\bruch{1}{2}}=\bruch{1}{\wurzel{k^{2}+4k}}=\bruch{1}{\wurzel{k}\wurzel{k+4}}>\bruch{1}{\wurzel{k+4}\wurzel{k+4}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{k+4}
[/mm]
Da [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k+4}, [/mm] eine Variante der harmonischen Reihe, divergiert, divergiert auch [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(k^{2}+4k)^{-\bruch{1}{2}} [/mm] |
Danke schachuzipus für deine Anregungen.
Vielleicht kann ja jemand über meine Lösung schauen. Die Ergebnisse müssten stimmen (laut Maple). Was mich interessiert ist, ob man die Schreibweise so stehen lassen kann.
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Hallo nochmal,
> zu 1)
> erster Teil im ersten Post
>
> Reihenwertberechnung:
> [mm]\bruch{1}{4k^{2}-1}=\bruch{A}{2k-1}[/mm] + [mm]\bruch{B}{2k+1}[/mm]
>
> Berechnung von A u. B:
> 1=A(2k+1)+B(2k-1)
> für [mm]k=\bruch{1}{2}[/mm] eingesetzt [mm]\Rightarrow[/mm] 1=2A [mm]\Rightarrow A=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> für [mm]k=-\bruch{1}{2}[/mm] eingesetzt [mm]\Rightarrow[/mm] 1=-2B
> [mm]\Rightarrow B=-\bruch{1}{2}[/mm]
> [mm]\Rightarrow \bruch{\bruch{1}{2}}{2k-1}[/mm] - [mm]\bruch{\bruch{1}{2}}{2k+1}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{4k^{2}-1}=\summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{\bruch{1}{2}}{2k-1}[/mm] - [mm]\bruch{\bruch{1}{2}}{2k+1}) =\limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{k=1}^{n}(\bruch{\bruch{1}{2}}{2k-1}[/mm] - [mm]\bruch{\bruch{1}{2}}{2k+1})=\limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{1}{2}-\bruch{1}{2}(\bruch{1}{2n+\red{1}}))=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> zu 2)
> Beh.: [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-3)^{k}}{4^{k}}[/mm]
> konvergiert, Reihenwert = [mm]\bruch{4}{7}[/mm]
> Bew.:
> Wurzelkriterium
> [mm] $\limsup\limits_{k\rightarrow\infty}\wurzel{|x_{k}|}=\limes_{k\rightarrow\infty} sup\wurzel[k]{|-\bruch{3}{4}^{k}|}=\bruch{3}{4}<1 \red{\forall
k \in \IN}$
[/mm]
Das rote lass mal weg, du betrachtest doch eh nur den Limes
> Somit konvergiert [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{(-3)^{k}}{4^{k}}[/mm]
> absolut und daraus folgt die Konvergenz der Reihe. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Jo
>
> Reihenberechnung
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} (-\bruch{3}{4})^{k}=\bruch{1}{1+\bruch{3}{4}}=\bruch{1}{\bruch{7}{4}}=\bruch{4}{7}[/mm]
>
> zu 3)
> Beh.: [mm]\summe_{k=1}^{\infty}(k^{2}+4k)^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
> divergiert
> Bew.:
> Minorantenkriterium
>
> [mm](k^{2}+4k)^{-\bruch{1}{2}}=\bruch{1}{\wurzel{k^{2}+4k}}=\bruch{1}{\wurzel{k}\wurzel{k+4}}>\bruch{1}{\wurzel{k+4}\wurzel{k+4}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{k+4}[/mm]
> Da [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k+4},[/mm] eine Variante der
> harmonischen Reihe,
Jo, das geht, ich würde den Nenner vergrößern auf [mm] $\sqrt{2k^2}$ [/mm] oder auf [mm] $\sqrt{4k^2}$, [/mm] dann hast du eine "Reinform" der harmon. Reihe, nämlich [mm] $\frac{1}{\sqrt{2}}\sum\limits_k\frac{1}{k}$ [/mm] bzw. [mm] $\frac{1}{2}\sum\limits_k\frac{1}{k}$ [/mm]
Aber das ist nur optische Kosmetik bzw. das meinte ich mit "Variante der harm. Reihe" 
> divergiert, divergiert auch
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}(k^{2}+4k)^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
> Danke schachuzipus für deine Anregungen.
> Vielleicht kann ja jemand über meine Lösung schauen. Die
> Ergebnisse müssten stimmen (laut Maple). Was mich
> interessiert ist, ob man die Schreibweise so stehen lassen
> kann.
Ja, perfekt, da gibt's nix zu meckern - schade
Nein, im Ernst, gut gemacht!
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:25 Do 15.01.2009 | | Autor: | rororo18 |
Danke für deine Hilfe schachuzipus
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