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| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz:
(1) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{4n+3}
[/mm]
(2) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} n^{k}a^{n}, [/mm] wobei a [mm] \in \IR [/mm] ist, [mm] \left| a \right| [/mm] < 1 und k [mm] \in \IN
[/mm]
(3) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{8^{n}}{7^{n+1}}
[/mm]
(4) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \wurzel[n]{2} [/mm] |
Hallo, ich sitze gerade an diesen Reihen und bräuchte mal ein bisschen Hilfe.
Zu (4) hab ich Divergenz der Reihe, da [mm] (-1)^{n} \wurzel[n]{2} [/mm] keine Nullfolge ist. Hab das gezeigt mittels der Definition und [mm] \epsilon [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}. [/mm] (Funktioniert halt, weil [mm] \wurzel[n]{2} [/mm] nicht gegen 0 geht, sondern gegen 1.)
Zu (3) hab ich ebenfalls Divergenz der Reihe, denn das Quotientenkriterium liefert mir [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] = [mm] \bruch{8}{7} [/mm] > 1 für alle n.
Bei (2) gehen die Probleme los. Ich weiß, dass [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a^{n} [/mm] die geometrische Reihe ist und konvergiert. Ich weiß aber nicht, was ich mit dem Vorfaktor anfangen soll. Intuitiv würde ich sagen, dass es durch den divergiert, weil ja selbst für k=1 für große n der Faktor auch groß wird. Allerdings weiß ich nicht wie ich das zeigen soll.
Bei (1) fehlt mir jede Idee. Ich weiß lediglich, dass die harmonische Reihe eine divergente Majorante ist, was mir aber natürlich nichts nützt.
Über ein paar Tipps würde ich mich sehr freuen. 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:07 Mi 17.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Vuffi-Raa!
Die Aufgaben (3) und (4) hast Du richtig gelöst.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:09 Mi 17.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Vuffi-Raa!
> Bei (1) fehlt mir jede Idee. Ich weiß lediglich, dass die
> harmonische Reihe eine divergente Majorante ist,
Nun denn, dann forme mal um und schätze ab:
[mm] $$\bruch{1}{4n+3} [/mm] \ > \ [mm] \bruch{1}{4n+4} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{4*(n+1)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{4}*\bruch{1}{n+1}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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> Hallo Vuffi-Raa!
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> > Bei (1) fehlt mir jede Idee. Ich weiß lediglich, dass die
> > harmonische Reihe eine divergente Majorante ist,
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> Nun denn, dann forme mal um und schätze ab:
> [mm]\bruch{1}{4n+3} \ > \ \bruch{1}{4n+4} \ = \ \bruch{1}{4*(n+1)} \ = \ \bruch{1}{4}*\bruch{1}{n+1}[/mm]
>
> Gruß
> Loddar
>
Hmm, aber irgendwie weiß ich trotzdem nicht so recht wo du hin willst. Du schätzt nach unten ab also offenbar zu einer divergenten Minorante, aber welche?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:52 Mi 17.06.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Vuffi-Raa!
> Hmm, aber irgendwie weiß ich trotzdem nicht so recht wo du
> hin willst. Du schätzt nach unten ab also offenbar zu einer
> divergenten Minorante, aber welche?
Die hast du doch bereits selber genannt.
Gruß
Loddar
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Also irgendwie steh ich auf dem Schlauch.
Die harmonische Reihe ist doch [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n} [/mm] und du ist für jeden Summanden größer als [mm] \bruch{1}{4}\cdot{}\bruch{1}{n+1}. [/mm] Wie soll ich die dann als Minorante nehmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:13 Mi 17.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Also irgendwie steh ich auf dem Schlauch.
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> Die harmonische Reihe ist doch [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n}[/mm]
> und du ist für jeden Summanden größer als
> [mm]\bruch{1}{4}\cdot{}\bruch{1}{n+1}.[/mm] Wie soll ich die dann
> als Minorante nehmen?
Hallo,
wenn die harmonische Reihe divergiert, dann divergiert auch "ein Viertel von der harmonischen Reihe".
Den Faktor 1/4 kannst du vor das Summenzeichen ziehen.
Und die Reihen 1/n und 1/ (n+1) unterscheiden sich nur dadurch, dass die zweite Reihe einen Summanden weniger hat (deswegen divergiert sie trotzdem noch).
Gruß Abakus
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:19 Mi 17.06.2009 | | Autor: | Vuffi-Raa |
> > Also irgendwie steh ich auf dem Schlauch.
> >
> > Die harmonische Reihe ist doch [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n}[/mm]
> > und du ist für jeden Summanden größer als
> > [mm]\bruch{1}{4}\cdot{}\bruch{1}{n+1}.[/mm] Wie soll ich die dann
> > als Minorante nehmen?
> Hallo,
> wenn die harmonische Reihe divergiert, dann divergiert
> auch "ein Viertel von der harmonischen Reihe".
> Den Faktor 1/4 kannst du vor das Summenzeichen ziehen.
> Und die Reihen 1/n und 1/ (n+1) unterscheiden sich nur
> dadurch, dass die zweite Reihe einen Summanden weniger hat
> (deswegen divergiert sie trotzdem noch).
Ach so.
Ja ich bin auch doof. Irgendwie fehlte mir dieser Gedanke, dass das +1 die Reihe ja quasi nur um einen Summanden verschiebt. Ich hatte irgendwie immer nur im Kopf, dass das andere Werte wären.
> Gruß Abakus
> >
>
Danke für die Hilfe, jetzt ist alles klar!
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Hallo!
Wende bei Aufgabe (2) das Quotientenkriterium an! Du erhältst
$lim\ sup [mm] \left|\bruch{(n+1)^{k}*a^{n+1}}{n^{k}*a^{n}}\right| [/mm] = [mm] \lim [/mm] \ [mm] sup\left|\bruch{(n+1)^{k}}{n^{k}}\right|*|a| [/mm] = |a| < 1$.
Auch mit dem Wurzelkriterium müsste man eine ähnliche Aussage erhalten. Probiers
Grüße, Stefan.
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