Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeige die Konvergenz folgender Reihen und bestimme die Grenzwerte.
[mm] a)\summe_{n=1}^{\infty}(a_{n+1}-a_n)
[/mm]
[mm] b)\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n(n+1)}
[/mm]
[mm] c)\summe_{n=2}^{\infty}\bruch{1}{n^2-1}
[/mm]
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Ich weiß nicht recht, wie das funktioniert die Konvergenz zu zeigen und den Grenzwert zu ermitteln.
Ich nehme mal das 1. beispiel:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(a_{n+1}-a_n)
[/mm]
gezeigt werden soll, dass [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(a_{n+1}) [/mm] konvergent ist und auch [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-a_n) [/mm] konvergent ist.
Hier könnte ich nur das Majorantenkriterium anwenden. Zumindest denke ich das so.. [mm] a_n\le b_n [/mm] muss also gelten. Die Reihe wäre dann absolut konvergent. Es folgt also [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(a_{n+1})\le \summe_{n=1}^{\infty}(-a_n)\le \varepsilon. [/mm] So und nun komm eich nicht recht so weiter das zu zeigen. Ich habe ja die Konvergenz noch nicht vollständig gezeigt und auch noch keinen Grenzwert bestimmt.
Könnt ihr mir da vielleicht weiterhelfen?
Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:47 So 15.11.2009 | | Autor: | abakus |
> Zeige die Konvergenz folgender Reihen und bestimme die
> Grenzwerte.
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> [mm]a)\summe_{n=1}^{\infty}(a_{n+1}-a_n)[/mm]
>
> [mm]b)\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n(n+1)}[/mm]
>
> [mm]c)\summe_{n=2}^{\infty}\bruch{1}{n^2-1}[/mm]
>
> Ich weiß nicht recht, wie das funktioniert die Konvergenz
> zu zeigen und den Grenzwert zu ermitteln.
>
> Ich nehme mal das 1. beispiel:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(a_{n+1}-a_n)[/mm]
>
> gezeigt werden soll, dass [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(a_{n+1})[/mm]
> konvergent ist und auch [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(-a_n)[/mm]
> konvergent ist.
Nein.
Nimm mal an, wir addieren nicht bis unendlich, sondern nur von 1 bis 3.
Schreib die Summe mal konkret auf (sie beginnt mit [mm] (a_2-a_1)+....) [/mm] und schau, was sich alles aufhebt.
Gruß Abakus
>
> Hier könnte ich nur das Majorantenkriterium anwenden.
> Zumindest denke ich das so.. [mm]a_n\ge b_n[/mm] muss also gelten.
> Die Reihe wäre dann absolut konvergent. Es folgt also
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(a_{n+1})\le \summe_{n=1}^{\infty}(-a_n)\le \varepsilon.[/mm]
> So und nun komm eich nicht recht so weiter das zu zeigen.
> Ich habe ja die Konvergenz noch nicht vollständig gezeigt
> und auch noch keinen Grenzwert bestimmt.
>
> Könnt ihr mir da vielleicht weiterhelfen?
>
> Mathegirl
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es bleibt stehen [mm] -a_1+a_4 [/mm] also je weiter man addiert würde sicher [mm] -a_1+a_\infty [/mm] stehen bleiben. Aber mein Problem besteht ja darin, dass ich es konkret und fachlich zeigen muss, also nicht bloß einsetzen und folgern, sondern Kriterien anwenden und zeigen.
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:33 So 15.11.2009 | | Autor: | abakus |
> es bleibt stehen [mm]-a_1+a_4[/mm] also je weiter man addiert würde
> sicher [mm]-a_1+a_\infty[/mm] stehen bleiben. Aber mein Problem
> besteht ja darin, dass ich es konkret und fachlich zeigen
> muss, also nicht bloß einsetzen und folgern, sondern
> Kriterien anwenden und zeigen.
Du bist lustig. Wie willst du schon vor dem Lösen einer Aufgabe wissen, dass du unbedingt ein "Kriterium" du dafür brauchst?
b) und c) bauen übrigens voll darauf auf, dass sich alle Summenden mit Ausnahme des ersten und des "letzten" genau in der hier gefundene Weise aufheben.
Übrigens glaube ich, dass du uns Bedingungen unterschlagen hast. Das konveriert nur, wenn " [mm] a_\infty [/mm] " gegen Null geht.
Gruß Abakus
>
>
> MfG
> Mathegirl
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Ich habe keine Bedingungen unterschlagen. n konvergiert denke ich gegen unendlich.
Aber ich kann doch nicht einfach jedesmal 4,5 Folgenglieder einsetzen und dann sagen "so...daran sieht man das jetzt". das ist schulniveau!! Und wie ich das konkret schreiben soll weiß ich nicht.
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:55 So 15.11.2009 | | Autor: | abakus |
> Ich habe keine Bedingungen unterschlagen. n konvergiert
> denke ich gegen unendlich.
> Aber ich kann doch nicht einfach jedesmal 4,5
> Folgenglieder einsetzen und dann sagen "so...daran sieht
> man das jetzt". das ist schulniveau!! Und wie ich das
> konkret schreiben soll weiß ich nicht.
>
>
> Mathegirl
Dann teile die Summe tatsächlich in zwei Teilsummen auf, nimm von einer Summe den ersten Summaden [mm] a_1 [/mm] separat raus (der Rest von [mm] a_n [/mm] läuft dann von 2 bis unendlich) und mache mit einer Indexverschiebung aus "Summe [mm] a_n [/mm] von 2 bis unendlich" die "Summe aller [mm] a_{n+1} [/mm] von 1 bis unendlich".
Die beiden Summen subtrahieren sich weg, übrig bleibt [mm] a_1.
[/mm]
Ist das mathematisch genug?
Gruß Abakus
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Ich probiere es so. denn ich muss ja die genutzten Konvergenzkriterien bestimmen und diese auch zeigen. und das macht mir teilweise probleme, weil es mir schwer fällt, diese auf meine besipiele anzuwenden.
Stimmt das folgende Beispiel?
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(a_{n+a}-a_n)
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{n=1}^{\infty}(a_{n+a} [/mm] - [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{n=1}^{\infty}a_n
[/mm]
[mm] a_n\ge b_n [/mm] muss ich zeigen, stimmt das?
mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:36 Mo 16.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ich probiere es so. denn ich muss ja die genutzten
> Konvergenzkriterien bestimmen und diese auch zeigen. und
> das macht mir teilweise probleme, weil es mir schwer
> fällt, diese auf meine besipiele anzuwenden.
>
> Stimmt das folgende Beispiel?
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(a_{n+a}-a_n)[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{n=1}^{\infty}(a_{n+a}[/mm] -
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{n=1}^{\infty}a_n[/mm]
>
> [mm]a_n\ge b_n[/mm] muss ich zeigen, stimmt das?
nein, das ist Unfug !!
Sei [mm] b_n [/mm] := [mm] a_{n+1}-a_n. [/mm] Weiter sei [mm] s_n:= b_1+ ...+b_n
[/mm]
Jetzt benötigen wir die Def. der Konvergenz einer Reihe:
$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(a_{n+1}-a_n) [/mm] $ ist konvergent [mm] \gdw (s_n) [/mm] ist konvergent.
Überlege Dir, dass [mm] $s_n [/mm] = [mm] a_{n+1}-a_1
[/mm]
Damit:
$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(a_{n+1}-a_n) [/mm] $ ist konvergent [mm] \gdw (a_n) [/mm] ist konvergent.
FRED
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>
> mathegirl
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Das verstehe ich nicht. kann mir das vielleicht jemand mal an einem beispiel verdeutlichen?
mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:23 Di 17.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo.
> Das verstehe ich nicht. kann mir das vielleicht jemand mal
> an einem beispiel verdeutlichen?
Sei doch mal selber kreativ.
Oder nimm [mm] $a_n [/mm] = 42 + [mm] \frac{1}{\pi n}$ [/mm] und gucke was passiert.
LG Felix
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 19:05 So 15.11.2009 | | Autor: | pi-roland |
Hallo,
[mm] \(a_\infty\) [/mm] muss nicht gegen [mm] \(0\) [/mm] konvergieren, damit die Reihe konvergiert. Da man schließlich den Grenzwert angeben kann, existiert er auch. Er ist halt nicht nur von [mm] \(a_1\), [/mm] sondern auch von [mm] \(a_\infty\) [/mm] abhängig.
Viele Grüße,
Roland.
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