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Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenz von Reihen
Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Konvergenz von Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:56 Mi 18.11.2009
Autor: stk66

Aufgabe 1
Prüfe die folgende Reihe auf Konvergenz:
(1) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (q^{n}-q^{n-1}) [/mm] für ein reelles q mit [mm] -1

Aufgabe 2
(2) [mm] \summe_{n=0}^{\infty} q^{n^{2}} [/mm] für |q| < 1

Als Konvergenzkriterien sind bekannt: Majorantenkrit., Minorantenkrit., Quotientenkrit., Leibnizkrit. und Cauchykriterium.

Bei (1) finde ich überhaupt keinen Ansatz für eines der Kriterien. Mir würde schon ein kleiner Tip reichen, welches Krit. angewendet werden kann.

Bei (2) hab ichs erst mit dem Majorantenkriterium versucht. (geometr. Reihe). Aber bei der Abschätzung [mm] |q^{n^{2}}| \le q^{n} \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] mit |q|<1
habe ich ein Problem mit negativen q und ungeraden n ( z.B. [mm] q=-\bruch{1}{2} [/mm] und n=3)
Somit scheint das Majorantenkrit. hier nicht benutzbar zu sein.

        
Bezug
Konvergenz von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:07 Mi 18.11.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> Prüfe die folgende Reihe auf Konvergenz:
>  (1) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (q^{n}-q^{n-1})[/mm] für ein reelles
> q mit [mm]-1
>  (2) [mm]\summe_{n=0}^{\infty} q^{n^{2}}[/mm] für |q| < 1
>  Als Konvergenzkriterien sind bekannt: Majorantenkrit.,
> Minorantenkrit., Quotientenkrit., Leibnizkrit. und
> Cauchykriterium.
>  
> Bei (1) finde ich überhaupt keinen Ansatz für eines der
> Kriterien. Mir würde schon ein kleiner Tip reichen,
> welches Krit. angewendet werden kann.

Am besten teilst du die Reihe zunächst in
zwei Reihen auf.


> Bei (2) hab ichs erst mit dem Majorantenkriterium versucht.
> (geometr. Reihe). Aber bei der Abschätzung [mm]|q^{n^{2}}| \le q^{n} \forall[/mm]
> n [mm]\in \IN[/mm] mit |q|<1
>  habe ich ein Problem mit negativen q und ungeraden n (
> z.B. [mm]q=-\bruch{1}{2}[/mm] und n=3)
>  Somit scheint das Majorantenkrit. hier nicht benutzbar zu
> sein.

Es gilt:  [mm] |q^{n^{2}}|=|q|^{n^{2}} [/mm]

Betrachte also die Reihen $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} |q|^{n^{2}} [/mm] $
sowie $ [mm] \summe_{k=0}^{\infty} |q|^{k} [/mm] $


LG    Al-Chw.


Bezug
                
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Konvergenz von Reihen: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:49 Mi 18.11.2009
Autor: MatheBoy

Kann mir jemand genau sagen was man dann machen muss?
Ich krieg die Aufgabe einfach nicht gelöst.


Bitte, ich brauch dringend die Lösung

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Konvergenz von Reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:02 Mi 18.11.2009
Autor: MatheBoy

kann mir niemand helfen??

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:12 Mi 18.11.2009
Autor: angela.h.b.


> Kann mir jemand genau sagen was man dann machen muss?
>  Ich krieg die Aufgabe einfach nicht gelöst.
>  
>
> Bitte, ich brauch dringend die Lösung

Hallo,

[willkommenmr].

Lies Dir am besten mal die Forenregeln durch. Du wirst feststellen, daß das Forum nicht als Lösungsmaschine gedacht ist.
Wir legen großen Wert auf Deine eigenen Lösungsansätze und Überlegungen.

Für q=1 ist (1) $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (q^{n}-q^{n-1}) [/mm] $ doch ziemlich leicht unter Kontrolle zu kriegen, oder?

Für q mit $ -1<q\ <1 $ hat Al Chwarizmi ja schon einen Tip gegeben.

Wie hast Du den umgesetzt?

An die geometrische Reihe zu denken, wäre danach keine schlechte Idee.

Gruß v. Angela




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Bezug
Konvergenz von Reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:12 Mi 18.11.2009
Autor: stk66

Danke, hat mir sehr geholfen.

Bezug
        
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Konvergenz von Reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:05 Mi 18.11.2009
Autor: MatheBoy

Kann mir niemand helfen?

Bezug
                
Bezug
Konvergenz von Reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:08 Mi 18.11.2009
Autor: schachuzipus

Hallo MatheBoy,

es genügt vollauf, die Frage einmal zu stellen.

Alles andere nervt nur und führt nicht dazu, dass deine Frage schneller beantwortet wird.

Gruß

schachuzipus

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Konvergenz von Reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 03:25 Do 19.11.2009
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo MatheBoy,

schreib mal auf, was du über geometrische Reihen
so weißt und wie du schon versucht hast, diese
Kenntnisse für die vorliegenden Reihen anzuwenden.
Dann schauen wir weiter.

LG  


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