Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz
a) [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{n}{2*n^{3}+1} [/mm] |
Hallo!
Ich habe ein Problem mit Reihen.
Zum Beispiel hier bei der Aufgabe. Ich würde so vorgehen:
Schritt 1: Vermutung:Die Folge konvergiert, dass heißt, man muss etwas Ähnliches finden und dann abschätzen mit Bekanntem
Schritt2: [mm] a_{n}= \bruch{n}{2*n^{3}+1} [/mm] ist ungefähr [mm] \bruch{n}{n^{3}} [/mm] und davon wissen wir ja,dass [mm] \bruch{n}{n^{3}}=\bruch{1}{n^{2}} [/mm] konvergiert(Haben wie in der Vorlesung bewiesen und dann kann man es ja benutzen)
ist das soweit richtig? Und wenn nicht, kann mir einer eine richtige Abschätzung geben?
Vielen Dank
TheBozz-mismo
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:18 So 29.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das ist beinahe das richtige Vorgehen. nur das "ungefähr" ist keine Mathe. Du benutzt das Majorantenkriterium. Dazu musst du zeigen dass jedes [mm] a_n [/mm] ab irgendeinem n kleiner als das einer konv. folge ist.
hier:$ [mm] a_{n}= \bruch{n}{2\cdot{}n^{3}+1} [/mm] < [mm] \bruch{n}{2\cdot{}n^{3}} [/mm] = [mm] \bruch{}{2\cdot{}n^2} [/mm] $
(Nenner verkleinern heisst Bruch vergrößern)
Damit hast du die Majorante
[mm] 1/2\summe_{i=1}^{\infty}1/i^2
[/mm]
(wenn du willst kannst du auch weiter auf [mm] 1/n^2 [/mm] verkleinern.)
Gruss leduart
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Ja, das mit dem ungefähr hatte unser Prof auch gemacht, aber nur am Anfang, um eine Idee zu zeigen:
Das Majorantenkriterium, bzw. so, wie man das jetzt hier angewendet hat, verstehe ich.
Vielen Dank
Ich habe aber noch 9 andere Aufgaben, die sich auch mit Überprüfung der Konvergenz beschäftigen.
Bei b) denke ich mal, dass man wieder abschätzen muss, doch da komme ich ja auf [mm] \bruch{n^{2}}{n^{2}} [/mm] und das ergibt 1. Also divergiert es? Oder? Warum weiß ich auch nicht genau, weil es nicht gegen 0 geht?
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[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{n^{2}}{n^{2}+2} [/mm] ist die Aufgabe b)
Irgendwie zeigt der die anders nicht an und ich hab etwas falsch gemacht!
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Hallo TheBozz-mismo,
leider sind wir keine Hellseher  - daher schreibe doch bitte die Aufgaben hin, von denen du redest.
Im Übrigen nützt es nichts, wenn du die Reihenglieder nach oben durch eine divergente Reihe abschätzen kannst - ich kann auch schreiben:
[mm] $\frac{1}{k^{2}} [/mm] < [mm] \frac{1}{k}$,
[/mm]
und ich weiß, die harmonische Reihe [mm] \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k} [/mm] ist divergent - deswegen ist aber noch lange nicht die Reihe [mm] \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}} [/mm] divergent.
Probiere doch ein paar Konvergenzkriterien aus - sowas hattet ihr sicher.
Grüße,
Stefan
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Hallo,
also ist nun die Aufgabe
b) $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{n^{2}}{n^{2}+2} [/mm] $
Nun - ihr hattet sicher in der Vorlesung, dass die Reihenglieder, also die [mm] a_{n}, [/mm] die in einer Reihe [mm] \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} [/mm] stehen, eine Nullfolge sein müssen, damit die Reihe selbst überhaupt konvergent sein kann.
Dieses Kriterium kann sehr hilfreich sein, weil dann manchmal schon beim ersten Draufgucken auf die Reihe festzustellen ist, dass die Reihe divergiert, weil eben die Reihenglieder keine Nullfolge bilden.
Bei dir hier ist das der Fall. Du musst also nur zeigen: [mm] \bruch{n^{2}}{n^{2}+2} [/mm] ist keine Nullfolge (was mit Einvernehmen trivial ist), und schon hast du die Divergenz der Reihe gezeigt.
Grüße,
Stefan
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Ja, dieses Kriterium mit der Nullfolge haben wir schon.
Ok, dass heißt, ich berechne den Limes. Entschuldigung, aber trivial ist das für mich nicht.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^{2}}{n^{2}+2}=\limes_
[/mm]
[mm] {n\rightarrow\infty}\bruch{n^{2}-2}{n^{2}}+\bruch{2*n^{2}}{2}
[/mm]
Richtig so? Und dann der 2. Term gegen 1.
Bitte verbessern, wenn ich den Grenzwert falsch berechnet habe und mir den richtigen Weg zeigen
Vielen Dank
TheBozz-mismo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 So 29.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Ja, dieses Kriterium mit der Nullfolge haben wir schon.
> Ok, dass heißt, ich berechne den Limes. Entschuldigung,
> aber trivial ist das für mich nicht.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n^{2}}{n^{2}+2}=\limes_[/mm]
Wie kommst du denn auf die Umformung? die ist einfach falsch. (
> [mm]{n\rightarrow\infty}\bruch{n^{2}-2}{n^{2}}+\bruch{2*n^{2}}{2}[/mm]
>
> Richtig so? Und dann der 2. Term gegen 1.
bei n hoch was in Zähler und Nenner dividiert man immer durch die höchste Potenz von n, um besser zu ehen was passiert, hier also durch [mm] n^2 [/mm]
[mm] \bruch{n^{2}}{n^{2}+2}=\bruch{1}{1+2/n^2}
[/mm]
jetzt kannst du lim direkt bilden und hast wegen [mm] 2/n^2 [/mm] gegen 0 eine 1 raus.
Gruss leduart
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So, Entschuldigung für meine Dummheit. Das ist ja so logisch, hab ich letztens schonmal gemacht. Danke für auf die Sprünge helfen. Ok, diese Aufgabe habe ich auch verstanden.
Kommen wir nun zu c)
c) [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{1+{4*i}}{4-{3*i}})^{2*n}
[/mm]
Ich habe mir überlegt, ob man hier das Wurzelkriterium anwenden kann. Ist dies möglich? Oder doch lieber ein anderes Kriterium?
Soll man die komplexe Zahl lieber in Polarform schreiben?
Vielen Dank
TheBozz-mismo
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Hallo,
> So, Entschuldigung für meine Dummheit. Das ist ja so
> logisch, hab ich letztens schonmal gemacht. Danke für auf
> die Sprünge helfen. Ok, diese Aufgabe habe ich auch
> verstanden.
> Kommen wir nun zu c)
> c) [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{1+{4*i}}{4-{3*i}})^{2*n}[/mm]
>
> Ich habe mir überlegt, ob man hier das Wurzelkriterium
> anwenden kann. Ist dies möglich? Oder doch lieber ein
> anderes Kriterium?
> Soll man die komplexe Zahl lieber in Polarform schreiben?
Wurzelkriterium ist an und für sich eine gute Idee.
Du kannst aber gut erkennen, dass es sich eigentlich nur um eine Art geometrische Reihe handelt, die Reihe der Form [mm] \sum_{k=0}^{\infty}q^{k}.
[/mm]
Nur ist hier eben statt [mm] q^{k} [/mm] der Term [mm] q^{2k} [/mm] in der Summe, das ist aber unwichtig.
Worauf ich hinaus will, ist, dass du entweder zeigst, dass entweder
[mm] $\left|\bruch{1+{4*i}}{4-{3*i}}\right| [/mm] > 1$
oder
[mm] $\left|\bruch{1+{4*i}}{4-{3*i}}\right| [/mm] < 1$,
denn dann kannst du mit Hilfe der geometrischen Reihe sofort entscheiden, ob die Reihe konvergiert oder nicht.
Wie du nun genau [mm] \left|\bruch{1+{4*i}}{4-{3*i}}\right| [/mm] genau ausrechnest, sei zunächst dir überlassen 
Grüße,
Stefan
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Ok, also wenn ich zeige, dass $ [mm] \left|\bruch{1+{4\cdot{}i}}{4-{3\cdot{}i}}\right| [/mm] < 1 $, dann hab ich gezeigt, dass die Reihe konvergiert. Aber ist dieses $ [mm] q^{2k} [/mm] $ wirklich so unwichtig bzw. muss ich da noch was zu schreiben, dass 2k ein vielfaches von k ist und deshalb auch dafür gilt.
Also ich hab die Zahlen umgeformt in Polarform, doch unschöne Zahlen heraus.
Für den Zähler bekomme ich [mm] z=(\wurzel{17}*(\bruch{\pi}{2}-tan^{-1}(0.25)))
[/mm]
Für den Nenner bekomme ich [mm] z=(5*(tan^{-1}(\bruch{-3}{4})))
[/mm]
Wenn ich das ausrechne, bekomme ich ca. -1,69898, aber da das ja noch in Betrag steht, kommt also 1,7<0 und dass heißt, dass die Folge divergiert.
So ungefähr richtig?
Gruß und vielen Dank
TheBozz-mismo
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Hallo TheBozz-mismo,
> Ok, also wenn ich zeige, dass
> [mm]\left|\bruch{1+{4\cdot{}i}}{4-{3\cdot{}i}}\right| < 1 [/mm],
> dann hab ich gezeigt, dass die Reihe konvergiert. Aber ist
> dieses [mm]q^{2k}[/mm] wirklich so unwichtig bzw. muss ich da noch
> was zu schreiben, dass 2k ein vielfaches von k ist und
> deshalb auch dafür gilt.
Nein, es läuft dann darauf hinaus: Wenn q > 1, dann ist auch [mm] q^{2} [/mm] > 1, also konvergiert die Reihe [mm] \sum_{k=1}^{\infty}(q^{2})^{k} [/mm] = [mm] \sum_{k=1}^{\infty}q^{2k}, [/mm] klar ? Analog für q < 1.
> Also ich hab die Zahlen umgeformt in Polarform, doch
> unschöne Zahlen heraus.
> Für den Zähler bekomme ich
> [mm]z=(\wurzel{17}*(\bruch{\pi}{2}-tan^{-1}(0.25)))[/mm]
> Für den Nenner bekomme ich
> [mm]z=(5*(tan^{-1}(\bruch{-3}{4})))[/mm]
> Wenn ich das ausrechne, bekomme ich ca. -1,69898, aber da
> das ja noch in Betrag steht, kommt also 1,7<0 und dass
> heißt, dass die Folge divergiert.
> So ungefähr richtig?
Ich habe es einfach mit binomischer Formel gemacht:
[mm] $\bruch{1+{4\cdot{}i}}{4-{3\cdot{}i}} [/mm] = [mm] \bruch{1+{4\cdot{}i}}{4-{3\cdot{}i}}*\frac{4 + 3*i}{4+3*i} [/mm] = [mm] \frac{(1+4*i)*(4+3*i)}{(4-3*i)*(4+3*i)} [/mm] = [mm] \frac{4 + 3*i + 16*i - 12}{16-9} [/mm] = [mm] \frac{-8 + 19*i}{7} [/mm] = [mm] -\frac{8}{7} [/mm] + [mm] \frac{19}{7}*i$,
[/mm]
dessen Betrag offensichtlich größer als 1 ist.
Aber das Ergebnis stimmt ja so oder so , also: Die Reihe divergiert.
Grüße,
Stefan
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Ist meine Rechnung denn falsch?
[mm] |\bruch{1+4i}{4-3i}| [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{1+4^2}}{\wurzel{4^2+3^2}} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{17}}{\wurzel{25}} [/mm] < 1
[mm] \Rightarrow [/mm] Folge konv. gegen 0
[mm] \Rightarrow [/mm] Reihe konvergiert (geom. Reihe)
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Hallo Gratwanderer,
> Ist meine Rechnung denn falsch?
>
> [mm]|\bruch{1+4i}{4-3i}|[/mm] =
> [mm]\bruch{\wurzel{1+4^2}}{\wurzel{4^2+3^2}}[/mm] =
> [mm]\bruch{\wurzel{17}}{\wurzel{25}}[/mm] < 1
Nein Gratwanderer, ich habe mich oben vertan. Du hast Recht, die Reihe ist konvergent.
Danke für die Korrektur!
Grüße,
Stefan
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Hallo,
Meine Rechnung war falsch, richtig ist:
> [mm]\bruch{1+{4\cdot{}i}}{4-{3\cdot{}i}} = \bruch{1+{4\cdot{}i}}{4-{3\cdot{}i}}*\frac{4 + 3*i}{4+3*i} = \frac{(1+4*i)*(4+3*i)}{(4-3*i)*(4+3*i)} = \frac{4 + 3*i + 16*i - 12}{16+9} = \frac{-8 + 19*i}{25} = -\frac{8}{25} + \frac{19}{25}*i[/mm],
dessen Betrag kleiner als 1 ist. Die Reihe konvergiert.
Grüße,
Stefan
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Wenigstens ist das Ergebnis richtig, aber wieder zu kompliziert.
Ok, nächste Aufgabe:
d)$ [mm] \sum_{n=0}^{\infty}\bruch{n^{2}-2*i}{1+n^{3}*i }
[/mm]
Also hier denke ich, dass man unbedingte Konvergenz zeigen kann und daraus ja folgt, dass die Reihe konvergent ist.Oder?
Nur hier hatte ich ein Problem, da wir da eine bijektive Abbildung miteingeführt haben. Wir haben gesagt, dass es eine Umordnung gibt, die eine bijektive Abbildung ist.
Deswegen habe ich versucht, die Reihe in die Form z=x+iy zu schreiben und habe heraus, dass x=1/x, also geht gegen 0. Der imaginäre Teil war ein bisschen komplexer, aber wenn ich zeige, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \parallel\bruch{n^{2}-2*i}{1+n^{3}*i }(in [/mm] Betrag)gegen 0 geht und damit würde ich absolute Konvergenz beweisen und somit auch nur Konvergenz.
So, gehen überhaupt beide Wege und welcher ist der Einfachere?
Gruß und vielen Dank
TheBozz-mismo
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Hallo,
> Ok, nächste Aufgabe:
> d)$ [mm]\sum_{n=0}^{\infty}\bruch{n^{2}-2*i}{1+n^{3}*i }[/mm]
> Also
> hier denke ich, dass man unbedingte Konvergenz zeigen kann
> und daraus ja folgt, dass die Reihe konvergent ist.Oder?
> Nur hier hatte ich ein Problem, da wir da eine bijektive
> Abbildung miteingeführt haben. Wir haben gesagt, dass es
> eine Umordnung gibt, die eine bijektive Abbildung ist.
>
> Deswegen habe ich versucht, die Reihe in die Form z=x+iy zu
> schreiben und habe heraus, dass x=1/x, also geht gegen 0.
> Der imaginäre Teil war ein bisschen komplexer, aber wenn
> ich zeige, dass [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \parallel\bruch{n^{2}-2*i}{1+n^{3}*i }(in[/mm]
> Betrag)gegen 0 geht und damit würde ich absolute
> Konvergenz beweisen und somit auch nur Konvergenz.
> So, gehen überhaupt beide Wege und welcher ist der
> Einfachere?
Ähem - ich habe mit unbedingter Konvergenz noch sehr wenig zu tun gehabt, wage aber trotzdem zu behaupten, dass beide Wege nicht gehen werden, weil ich das Wachstum der harmonischen Reihe in den Gliedern erkenne.
Ich meine, dass
[mm] $\bruch{n^{2}-2*i}{1+n^{3}*i } \approx \frac{1}{n}$
[/mm]
ist und somit die Reihe divergiert. Du müsstest nun also zum Beispiel mit dem Minorantenkriterium die Glieder nach unten abschätzen. Allerdings sind deine Reihenglieder ja komplex, das erschwert die Sache etwas.
Aber man führt die Konvergenz von komplexen Reihen ja auf die Konvergenz von reellen Reihen zurück. Nur wenn Imaginärteil und Realteil konvergieren, konvergiert auch die komplexe Reihe.
Also: Bestimme zunächst Real- und Imaginärteil der Reihenglieder [mm] $\bruch{n^{2}-2*i}{1+n^{3}*i }$. [/mm] Schätze dann entweder Real- oder Imaginärteil (je nachdem, bei welchem es dann funktioniert), durch die harmonische Reihe nach unten ab.
Grüße,
Stefan
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Ok, also ich hab den Term mit [mm] (1-n^3*i) [/mm] multipliziert, um aus dem Nenner das Komplexe zu elimieren.
Nach Umformen komme ich auf
[mm] \bruch{n+2*n^{3}}{1+n^{6}} -i*(\bruch{n^{2}+2}{1+n^{6}})
[/mm]
Ist das richtig?
So, und nun soll man abschätzen...da hab ich irgendwie Probleme mit...wie wollen ja irgendwie die Form 1/n bekommen, da die Reihe vermutlich divergiert, aber wie soll das gehen. Ich habe noch Probleme bzw. noch nicht das richtige Verständniss, wie man genau abschätzt.
Kannst du mir einen Tipp geben?
Vielen Dank
Gruß
TheBozz-mismo
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Hallo,
> Ok, also ich hab den Term mit [mm](1-n^3*i)[/mm] multipliziert, um
> aus dem Nenner das Komplexe zu elimieren.
> Nach Umformen komme ich auf
> [mm]\bruch{n+2*n^{3}}{1+n^{6}} -i*(\bruch{n^{2}+2}{1+n^{6}})[/mm]
>
> Ist das richtig?
Ich war kurz davor zu schreiben: Zum Glück nicht! (Oh, jetzt hab ich's doch geschrieben).
Denn dann wäre meine Vermutung falsch gewesen, denn sowohl Realteil als auch Imaginärteil lassen sich bei dir natürlich nicht nach unten durch 1/n abschätzen - der Realteil ist ja ca. [mm] 1/n^{3}, [/mm] der Imaginärteil ca. [mm] 1/n^{4} [/mm] - beide Teilreihen wären konvergent.
Deswegen hast du wahrscheinlich auch Probleme beim abschätzen gehabt.
Hier der richtige Anfang:
$ [mm] \bruch{n^{2}-2\cdot{}i}{1+n^{3}\cdot{}i } [/mm] = [mm] \bruch{n^{2}-2\cdot{}i}{1+n^{3}\cdot{}i } *\frac{1-n^{3}*i}{1-n^{3}*i} [/mm] = [mm] \bruch{(n^{2}-2\cdot{}i)*(1-n^{3}*i)}{(1+n^{3}\cdot{}i)*(1-n^{3}*i)} [/mm] $
$= [mm] \frac{n^{2}-i*n^{5} - 2*i - 2*n^{3}}{1-n^{6}} [/mm] = [mm] \left(\frac{n^{2}-2*n^{3}}{1-n^{6}}\right) [/mm] + [mm] i*\left(\frac{-n^{5} - 2}{1-n^{6}}\right)$
[/mm]
So - und nun probier's mit dem Imaginärteil
Beachte: Ein Bruch wird kleiner, wenn der Nenner größer wird.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 So 29.11.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Stefan!
Muss es im Nenner nicht jeweils $1 \ [mm] \red{+} [/mm] \ [mm] n^6$ [/mm] heißen?
Gruß
Loddar
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Ich kann einige deiner Schritte nicht nachvollziehen bzw. halte ich für falsch
$ = [mm] \frac{n^{2}-i\cdot{}n^{5} - 2\cdot{}i + 2\cdot{}n^{3}}{1+n^{6}} [/mm] = [mm] \left(\frac{n^{2}+2\cdot{}n^{3}}{1+n^{6}}\right) [/mm] + [mm] i\cdot{}\left(\frac{-n^{5} - 2}{1+n^{6}}\right) [/mm] $
Also ich halte das für richtig!Wenn ich mich nicht irgendwo vertan habe...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:37 So 29.11.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo TheBozz...!
Ich habe nunmehr erhalten:
$$... \ = \ [mm] \frac{n^{2}-i\cdot{}n^{5} - 2\cdot{}i + 2\cdot{}n^{3}*i^2}{1+n^{6}} [/mm] \ = \ [mm] \frac{n^{2}-i\cdot{}n^{5} - 2\cdot{}i \ \red{-} \ 2\cdot{}n^{3}}{1+n^{6}} [/mm] \ = \ [mm] \left(\frac{n^{2} \ \red{-} \ 2\cdot{}n^{3}}{1+n^{6}}\right) [/mm] + [mm] i\cdot{}\left(\frac{-n^{5} - 2}{1+n^{6}}\right)$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Stimmt, das hab ich jetzt auch raus. Ist schon spät am Abend :)
Also jetzt haben wir die Reihe aufgeteilt in Real-und Imaginärteil.
So, ich würde jetzt mal sagen, dass man beide Teile durch [mm] 1/n^5 [/mm] abschätzen kann...oder? und dann wäre die Reihe doch konvergent...oder?
Ich bin ratlos...
TheBozz-mismo
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Hallo!
> Stimmt, das hab ich jetzt auch raus. Ist schon spät am
> Abend :)
> Also jetzt haben wir die Reihe aufgeteilt in Real-und
> Imaginärteil.
> So, ich würde jetzt mal sagen, dass man beide Teile durch
> [mm]1/n^5[/mm] abschätzen kann...oder? und dann wäre die Reihe
> doch konvergent...oder?
Eben nicht!
Der Imaginärteil ist doch ca. 1/n !
[mm] $\frac{-n^{5} - 2}{1+n^{6}} [/mm] < [mm] \frac{-n^{5}}{1+n^{6}} [/mm] < [mm] \frac{-n^{5}}{2*n^{6}} [/mm] = [mm] \left(-\frac{1}{2}\right)* \frac{1}{n}$
[/mm]
Das heißt, wir konnten zeigen, dass jeder Summand kleiner ist als die negative harmonische Reihe, die da divergiert.
--> Imaginärteil divergiert
--> Reihe divergiert.
Grüße,
Stefan
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Entschuldigung, aber bei Aufgabe b) hast du ein Vorzeichen verdreht.
$ [mm] \bruch{1+{4\cdot{}i}}{4-{3\cdot{}i}} [/mm] = [mm] \bruch{1+{4\cdot{}i}}{4-{3\cdot{}i}}\cdot{}\frac{4 + 3\cdot{}i}{4+3\cdot{}i} [/mm] = [mm] \frac{(1+4\cdot{}i)\cdot{}(4+3\cdot{}i)}{(4-3\cdot{}i)\cdot{}(4+3\cdot{}i)} [/mm] = [mm] \frac{4 + 3\cdot{}i + 16\cdot{}i - 12}{16-9} [/mm] = [mm] \frac{-8 + 19\cdot{}i}{7} [/mm] = [mm] -\frac{8}{7} [/mm] + [mm] \frac{19}{7}\cdot{}i [/mm] $
Dort muss es doch später 16+9 lauten. Daraus folgt 25 und daraus ergibt sich folgende Imaginärzahl:
-(8/25)+i*(19/25) Kann man jetzt noch immer sagen, dass diese Zahl kleiner 1 ist? Eigentlich nicht, oder?
Gruß
TheBozz-mismo
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Hallo,
> Entschuldigung, aber bei Aufgabe b) hast du ein Vorzeichen
> verdreht.
> [mm]\bruch{1+{4\cdot{}i}}{4-{3\cdot{}i}} = \bruch{1+{4\cdot{}i}}{4-{3\cdot{}i}}\cdot{}\frac{4 + 3\cdot{}i}{4+3\cdot{}i} = \frac{(1+4\cdot{}i)\cdot{}(4+3\cdot{}i)}{(4-3\cdot{}i)\cdot{}(4+3\cdot{}i)} = \frac{4 + 3\cdot{}i + 16\cdot{}i - 12}{16-9} = \frac{-8 + 19\cdot{}i}{7} = -\frac{8}{7} + \frac{19}{7}\cdot{}i[/mm]
>
> Dort muss es doch später 16+9 lauten. Daraus folgt 25 und
> daraus ergibt sich folgende Imaginärzahl:
> -(8/25)+i*(19/25) Kann man jetzt noch immer sagen, dass
> diese Zahl kleiner 1 ist? Eigentlich nicht, oder?
Du hast Recht, ich habe mich vertan. Aber gerade dadurch, dass ihr Betrag nun kleiner 1 ist
[mm] $\sqrt{\left(\frac{8}{25}\right)^{2} + \left(\frac{19}{25}\right)^{2}} [/mm] = [mm] \frac{\sqrt{17}}{5} [/mm] < 1$,
konvergiert die Reihe ja jetzt doch!
Grüße,
Stefan
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