Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:06 Sa 05.12.2009 | | Autor: | Jennyyy |
| Aufgabe | [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{log_{2}}{2n+1}
[/mm]
Konvergiert diese Reihe? |
Ich verstehe leider immer noch nicht, wie ich an so Aufgaben am besten rangehe!
Woher weiß ich bei diesem Beispiel, welches Kriterium ich benutzen soll?
Die Summen der Folge [mm] \bruch{log_{2}}{2n+1} [/mm] konvergiert gegen 0.
Kann mir jemand helfen, dass zu verstehen?
Danke lg Jenny
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Jennyyy,
Was ist denn [mm] \log_2 [/mm] ohne folgendes Argument?
> Die Summen der Folge [mm]\bruch{log_{2}}{2n+1}[/mm] konvergiert
> gegen 0.
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Je nachdem, was der log da weiter macht, konvergiert die Folge gegen Null. Muss sie auch: das nennt man das Trivialkriterium. Du aber sollst nun die Reihe auf ihre Konvergenz untersuchen. Dabei ist jede Reihe eine Summenfolge, aber weil genau dieser Begriff bei der Unterscheidung eher verwirrt als nützt, findet er wenig Verwendung. Schau Dich mal in Lehrbüchern und im Internet um, da heißt es normalerweise "Folgen und Reihen".
So, welche Konvergenzkriterien für Reihen kennst Du nochmal?
Oder siehst Du vielleicht schon eine divergente Minorante oder konvergente Majorante? Du hast (je nachdem wie der Logarithmus...) ja sozusagen die Hälfte der harmonischen Reihe da herumstehen.
Wenn das mal kein Tipp ist.
lg
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 Sa 05.12.2009 | | Autor: | Jennyyy |
[mm] \bruch{log_{2}(n)}{2n+1} [/mm] Sorry ;)
Wir hatten das Quotienten-, Wurzel-, Minoranten- und Majorantenkriterium.
Die harmonische Reihe ist ja [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n}, [/mm] sie ist ja divergent.
Kann sie also eine divergente Minorante sein?
Dann müssten folgendes gelten:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{log_{2} n}{2n+1} \ge \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:50 Sa 05.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Für n [mm] \ge [/mm] 2 ist [mm] log_2(n) \ge [/mm] 1
Hilft das ?
FRED
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:02 Sa 05.12.2009 | | Autor: | Jennyyy |
[mm] \bruch {log_{2}n}{2n+1}\ge \bruch{1}{2n+1} \ge \bruch{1}{n}
[/mm]
Jedes Reihenglied der Reihe [mm] \bruch {log_{2}n}{2n+1} [/mm] muss dann größer sein, als das der divergenten Reihe [mm] \bruch{1}{n}, [/mm] denn dann divergiert die Reihe ebenfalls.
Oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:05 Sa 05.12.2009 | | Autor: | Jennyyy |
> [mm]\bruch {log_{2}n}{2n+1}\ge \bruch{1}{2n+1} \ge \bruch{1}{n}[/mm]
[mm] \bruch {log_{2}n}{2n+1}\ge \bruch{1}{2n+1} \ge \bruch{1}{n}
[/mm]
das meinte ich
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:25 Sa 05.12.2009 | | Autor: | abakus |
> > [mm]\bruch {log_{2}n}{2n+1}\ge \bruch[/mm] {1}{2n+1} [mm]\ge \bruch{1}{n}[/mm]
>
> [mm]\bruch {log_{2}n}{2n+1}\ge \bruch{1}{2n+1} \ge \bruch{1}{n}[/mm]
>
> das meinte ich
Das stimmt natürlich nicht. Bei gleichem Zähler gilt:
größerer Nenner --> kleinerer Bruch.
Damit gilt [mm] \bruch{1}{2n+1} \le \bruch{1}{n}
[/mm]
Allerdings gilt [mm] \bruch{1}{2n+1} \ge \bruch{1}{2n+2} =0,5\bruch{1}{n+1}.
[/mm]
Gruß Abakus
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 16:57 Sa 05.12.2009 | | Autor: | Jennyyy |
Danke für dieAntwort Abakus.
[mm]\bruch{1}{2n+1} \le \bruch{1}{n}[/mm]
Achja stimmt, aber dann ist es doch nicht mehr das Minorantenkriterium oder?
Entschuldige,aber ich versteh es einfach nicht.
Wie mache ich das denn genau?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Sa 05.12.2009 | | Autor: | Jennyyy |
Ich benutze das Majorantenkriterium:
[mm] \bruch{1}{n^{2}}\le \bruch{1}{2n+1}\le \bruch{log_{2}n}{2n+1}
[/mm]
Wenn ich das auflösen, komme ich auf eine wahre Aussage.
Da [mm] \bruch{1}{n^{2}} [/mm] eine konvergente Majorante ist und alle Folgegleider von [mm] \bruch{log_{2}n}{2n+1} [/mm] kleiner sind als die der Majorante ist also
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{log_{2}n}{2n+1} [/mm] ebenfalls konvergent.
Stimmt das nun ?
LG jenny
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:48 Sa 05.12.2009 | | Autor: | abakus |
> Ich benutze das Majorantenkriterium:
>
> [mm]\bruch{1}{n^{2}}\le \bruch{1}{2n+1}\le \bruch{log_{2}n}{2n+1}[/mm]
>
> Wenn ich das auflösen, komme ich auf eine wahre Aussage.
>
> Da [mm]\bruch{1}{n^{2}}[/mm] eine konvergente Majorante ist und
Da dieser Term kleiner ist als das nachfolgende, ist es eine Minorante.
Majorantenkriterium geht also so nicht.
Ich habe es dir doch vorhin fast fertig geliefert. Du weißt, dass die Reihe 1/n divergiert.
Dann divergiert 1/(n+1) auch (es fehlt im Vergleich zu 1/n nur der erste Summand).
Wenn die Reihe 1/(n+1) diveriert, divergiert auch die Reihe 0,5*( 1/(n+1)).
Das ist dann eine divergente Minorante.
Gruß Abakus
> alle Folgegleider von [mm]\bruch{log_{2}n}{2n+1}[/mm] kleiner sind
> als die der Majorante ist also
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{log_{2}n}{2n+1}[/mm] ebenfalls
> konvergent.
>
> Stimmt das nun ?
>
> LG jenny
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:04 Sa 05.12.2009 | | Autor: | Jennyyy |
Danke abakus, nun habe ich es auch endlich verstanden :)
Gruß Jenny
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