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Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenz von Reihen
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Konvergenz von Reihen: Verständnisproblem
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:20 Do 11.02.2010
Autor: DasTinchen

Aufgabe
Entscheiden Sie (mit Begründung), ob die folgende Reihe konvergent ist:

[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{8n^2+5n}{7n^5+3n^4+1} [/mm]

Hallo zusammen!

ich hab ein problem mit der oben beschriebenen aufgabe.
denn irgendwie komme ich zu keinem brauchbaren ergebnis.

hatte es mit der quotientenregel versucht... aber entweder bin ich zu doof zum kürzen... oder k.a.

jedenfalls weiss grad nicht wie ich sie sonst anpacken sollte...

ich hoffe mir kann jemand auf die sprünge helfen

vielen dank
lg
tinchen
        
Bezug
Konvergenz von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:31 Do 11.02.2010
Autor: abakus


> Entscheiden Sie (mit Begründung), ob die folgende Reihe
> konvergent ist:
>  
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{8n^2+5n}{7n^5+3n^4+1}[/mm]
>  Hallo
> zusammen!
>  
> ich hab ein problem mit der oben beschriebenen aufgabe.
>  denn irgendwie komme ich zu keinem brauchbaren ergebnis.
>  
> hatte es mit der quotientenregel versucht... aber entweder
> bin ich zu doof zum kürzen... oder k.a.

Hallo,
finde doch eine konvergente Majorante. Du kannst den Bruch vergrößern, indem du den Zähler größer und den Nenner kleiner machst.
Ich schlage vor: [mm] \bruch{8n^2+5n}{7n^5+3n^4+1}<\bruch{10n^2+5n}{6n^5+3n^4}. [/mm]
Den hinteren Bruch kannst du durch Ausklammern von (2n+1) in Zähler und Nenner stark  vereinfachen.  Dann solltest du sehen, dass auch die Reihe mit dem vergrößerten Bruch noch konvergiert.
Gruß Abakus
>  
> jedenfalls weiss grad nicht wie ich sie sonst anpacken
> sollte...
>  
> ich hoffe mir kann jemand auf die sprünge helfen
>  
> vielen dank
> lg
>  tinchen

Bezug
                
Bezug
Konvergenz von Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:52 Do 11.02.2010
Autor: DasTinchen

Danke erstmal für die schnelle Antwort...

hab es jetzt erstmal mit der majorante versucht...

soweit so gut... hab dann ja (sofern ich mich jetzt nicht vertan hab)

[mm] \bruch{5n}{3n^3} [/mm] übrig.

rein aus der logik würde ich jetzt sagen...
klar konvergiert das... undzwar gegen 0.
da sowohl zähler als auch nenner immer größer werden...
der zähler jedoch, dank der potenz, erheblich schneller...

kann ich das dann (natürlich in schön ausformuliert) dann auch so sagen?

denn daraus würde dann ja folgen, das meine reihe absolut konvergent ist...
oder hab ich noch was vergessen?
Bezug
                        
Bezug
Konvergenz von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:55 Do 11.02.2010
Autor: wieschoo

Wenn 0 < 1 gilt, dann ja.
Bezug
                                
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Konvergenz von Reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:26 Do 11.02.2010
Autor: wieschoo

Den obigen Beitrag bitte löschen oder noch besser ignorieren.
Kommt nicht noch einmal vor.

Denn er ist falsch. Ich habe jetzt den gleichen Fehler gemacht, wie der Themensteller:

[mm] \summe_{i=1}^{\infty}a_n [/mm] mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=0 [/mm]

ist wieder nur ein notwendiges Kriterium. Es reicht also wieder nicht nur zu zeigen, dass [mm] a_n=\bruch{5n}{3n^3} [/mm] gegen Null konvergiert.
Bezug
                        
Bezug
Konvergenz von Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:14 Do 11.02.2010
Autor: abakus


> Danke erstmal für die schnelle Antwort...
>  
> hab es jetzt erstmal mit der majorante versucht...
>  
> soweit so gut... hab dann ja (sofern ich mich jetzt nicht
> vertan hab)
>  
> [mm]\bruch{5n}{3n^3}[/mm] übrig.

n kürzen, 5/3 ausklammern, übrig bleibt [mm] 1/n^2, [/mm] was als konvergent bekannt sein sollte.
Gruß Abakus
>  
> rein aus der logik würde ich jetzt sagen...
>  klar konvergiert das... undzwar gegen 0.
> da sowohl zähler als auch nenner immer größer werden...
>  der zähler jedoch, dank der potenz, erheblich
> schneller...
>  
> kann ich das dann (natürlich in schön ausformuliert) dann
> auch so sagen?
>  
> denn daraus würde dann ja folgen, das meine reihe absolut
> konvergent ist...
>  oder hab ich noch was vergessen?

Bezug
                                
Bezug
Konvergenz von Reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:25 Do 11.02.2010
Autor: DasTinchen

VIELEN DANKE :)
Bezug
        
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Konvergenz von Reihen: Quotientenkriterium
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:38 Do 11.02.2010
Autor: Pacapear

Hallo :-)

> Entscheiden Sie (mit Begründung), ob die folgende Reihe
> konvergent ist:
>  
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{8n^2+5n}{7n^5+3n^4+1}[/mm]
>  Hallo
> zusammen!
>  
> ich hab ein problem mit der oben beschriebenen aufgabe.
>  denn irgendwie komme ich zu keinem brauchbaren ergebnis.
>  
> hatte es mit der quotientenregel versucht... aber entweder
> bin ich zu doof zum kürzen... oder k.a.

Ich habs auch mal so gerechnet, hab das Thema auch vor kurzen behandelt :-)

Ich komme mit dem Quotientenkriterium darauf, dass sich keine Aussage treffen lässt:

[mm] |\bruch{\bruch{8(n+1)^2+5(n+1)}{7(n+1)^5+3(n+1)^4+1}}{\bruch{8n^2+5n}{7n^5+3n^4+1}}| [/mm]

[mm] =\bruch{\bruch{8(n+1)^2+5(n+1)}{7(n+1)^5+3(n+1)^4+1}}{\bruch{8n^2+5n}{7n^5+3n^4+1}} [/mm]

[mm] =\bruch{56n^7+171n^6+154n^5+39n^4+8n^2+21n+13}{56n^7+304n^6+881n^5+1114n^4+816n^3+323n^2+55n} [/mm]

Wenn ich nun in Zähler und Nenner [mm] n^7 [/mm] ausklammer und den Limes bilde, bleibt über [mm] \bruch{56}{56}=1. [/mm]

Also keine Aussage treffbar :-)

LG Nadine
Bezug
                
Bezug
Konvergenz von Reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:49 Do 11.02.2010
Autor: wieschoo

Hallo Pacapear,

du hast da notwendige Kriterium für die Konvergenz von Reihen nachgeprüft.
Jedoch heißt es nicht automatisch, dass die Reihe konvergiert

[mm] \summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{n} [/mm]
Hier geht [mm] a_n [/mm] auch gegen Null, die Reihe konvergiert jedoch nicht


Bezug
                        
Bezug
Konvergenz von Reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:17 Do 11.02.2010
Autor: Pacapear

Hallo!

> Hallo Pacapear,
>  
> du hast da notwendige Kriterium für die Konvergenz von
> Reihen nachgeprüft.
> Jedoch heißt es nicht automatisch, dass die Reihe
> konvergiert

Oh, ja, ich habe Folgen mit Reihen verwechselt.

Das notwendige Kriterium ist, dass wenn die Reihe konvergiert, dass die Summanden dann eine Nullfolge sind, oder?

Ich habs jetzt nochmal versucht, ich editier grad mal meinen Artikel.

LG Nadine
Bezug
                
Bezug
Konvergenz von Reihen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:50 Do 11.02.2010
Autor: abakus


> Hallo :-)
>  
> > Entscheiden Sie (mit Begründung), ob die folgende Reihe
> > konvergent ist:
>  >  
> > [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{8n^2+5n}{7n^5+3n^4+1}[/mm]
>  >  
> Hallo
> > zusammen!
>  >  
> > ich hab ein problem mit der oben beschriebenen aufgabe.
>  >  denn irgendwie komme ich zu keinem brauchbaren
> ergebnis.
>  >  
> > hatte es mit der quotientenregel versucht... aber entweder
> > bin ich zu doof zum kürzen... oder k.a.
>  
> Ich habs auch mal so gerechnet, hab das Thema auch vor
> kurzen behandelt :-)
>  
> Ich zeig dir mal meine Rechnung:
>  
> [mm]\bruch{8n^2+5n}{7n^5+3n^4+1}[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{n^5*(\bruch{8}{n^3}+\bruch{5}{n^4})}{n^5*(7+\bruch{3}{n}+\bruch{1}{n^5})}[/mm]
>  
> [mm]=\bruch{\bruch{8}{n^3}+\bruch{5}{n^4}}{7+\bruch{3}{n}+\bruch{1}{n^5}}[/mm]
>  
> [mm]\bruch{8}{n^3}[/mm] geht gegen 0
>  
> [mm]\bruch{5}{n^4}[/mm] geht gegen 0
>  
> [mm]\bruch{3}{n}[/mm] geht gegen 0
>  
> [mm]\bruch{1}{n^5}[/mm] geht gegen 0
>  
> 7 geht gegen 7
>  
> Also
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{8}{n^3}+\bruch{5}{n^4}}{7+\bruch{3}{n}+\bruch{1}{n^5}}=\bruch{0+0}{7+0+0}=0[/mm]
>  
> 0 ist kleiner als 1, also konvergiert die Reihe.

Hallo,
nach dieser Logik müsste auch die Reihe von [mm] 1/n=\bruch{\bruch1n}{1} [/mm] konvergieren - tut sie aber nicht.
Gruß Abakus
>  
> LG Nadine

Bezug
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