Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:59 Do 27.05.2010 | | Autor: | ATDT |
| Aufgabe | | Zeige dass die Reihe [mm] \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{2^{n+1}}{7 * 3^n} [/mm] konvergiert und bestimme den Grenzwert |
Liebe Community,
ich hänge an dieser Aufgabe und brauche dabei Hilfe.
Mein Ansatz: Mithilfe des Quotientenkriteriums habe ich folgendes aufgestellt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n + 1}}{a_{n}}| [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{7 * 3^{n+1}}{2^{(n+1)+1}} [/mm] * [mm] \bruch{2^{n+1}}{7 * 3^n}
[/mm]
ab jetzt habe ich Probleme die Terme aufzulösen.
Ist es bis hierhin überhaupt der richtige Weg?
Ich hoffe ihr könnt mir helfen
|
|
| |
|
Hallo ATDT,
> Zeige dass die Reihe [mm]\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{2^{n+1}}{7 * 3^n}[/mm]
> konvergiert und bestimme den Grenzwert
> Liebe Community,
>
> ich hänge an dieser Aufgabe und brauche dabei Hilfe.
> Mein Ansatz: Mithilfe des Quotientenkriteriums habe ich
> folgendes aufgestellt:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n + 1}}{a_{n}}|[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2^{(n+1)+1}}{7 * 3^{n+1}}[/mm]
> * [mm]\bruch{2^{n+1}}{7 * 3^n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Autsch, man dividiert durch einen Bruch, indem man mit dem Kehrwert multipliziert, also
$\frac{a_{n+1}}{a_n}=a_{n+1}\cdot{}\frac{1}{a_n}=\frac{2^{n+2}}{7\cdot{}3^{n+1}}\cdot{}\frac{7\cdot{}3^n}{2^{n+1}}=\frac{2}{3}\longrightarrow \frac{2}{3}<1$ für $n\to\infty$
>
> ab jetzt habe ich Probleme die Terme aufzulösen. Hier ist
> ja 2 und 3 nicht die gleiche basis... sodass man die "hoch
> n+1" irgendwie zusammenfassen könnte. ich hoff ihr
> versteht was ich meine.
> Ist es bis hierhin überhaupt der richtige Weg?
>
> Ich hoffe ihr könnt mir helfen
Zur Bestimmung des Reihenwertes (auch eleganter zur Einsicht der Konvergenz) schreibe etwas um:
$\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{2^{n+1}}{7\cdot{}3^n}=\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{2\cdot{}2^{n}}{7\cdot{}3^n}=\frac{2}{7}\cdot{}\sum\limits_{n=2}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^n}$
Nun erinnere dich an die geometrische Reihe und achte insbesondere auf den veränderten Startwert (n=2) bei deiner Reihe ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 Do 27.05.2010 | | Autor: | ATDT |
> Hallo ATDT,
>
> > Zeige dass die Reihe [mm]\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{2^{n+1}}{7 * 3^n}[/mm]
> > konvergiert und bestimme den Grenzwert
> > Liebe Community,
> >
> > ich hänge an dieser Aufgabe und brauche dabei Hilfe.
> > Mein Ansatz: Mithilfe des Quotientenkriteriums habe ich
> > folgendes aufgestellt:
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n + 1}}{a_{n}}|[/mm] =
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2^{(n+1)+1}}{7 * 3^{n+1}}[/mm]
> > * [mm]\bruch{2^{n+1}}{7 * 3^n}[/mm]
>
> Autsch, man dividiert durch einen Bruch, indem man mit dem
> Kehrwert multipliziert, also
>
> [mm]\frac{a_{n+1}}{a_n}=a_{n+1}\cdot{}\frac{1}{a_n}=\frac{2^{n+2}}{7\cdot{}3^{n+1}}\cdot{}\frac{7\cdot{}3^n}{2^{n+1}}=\frac{2}{3}\longrightarrow \frac{2}{3}<1[/mm]
> für [mm]n\to\infty[/mm]
Wow wie schnell du bist! schon geantwortet!
JA! Autsch! ich hab das kurz darauf auch gesehen und noch korrigiert...
und [mm] 3^{n+1} [/mm] darf man einfach mit [mm] 3^n [/mm] kürzen? gleiche basen ok, aber ungleiche exponenten? ich hab bisher kaum mit solchen brüchen rechnen müssen..daher kenn ich diese rechenregel noch nicht.
Aber gut dass es dieses Forum gibt!
Dank Dir erstmal...den rest muss ich noch überdenken.
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> > Hallo ATDT,
> >
> > > Zeige dass die Reihe [mm]\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{2^{n+1}}{7 * 3^n}[/mm]
> > > konvergiert und bestimme den Grenzwert
> > > Liebe Community,
> > >
> > > ich hänge an dieser Aufgabe und brauche dabei Hilfe.
> > > Mein Ansatz: Mithilfe des Quotientenkriteriums habe
> ich
> > > folgendes aufgestellt:
> > >
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n + 1}}{a_{n}}|[/mm] =
> > > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2^{(n+1)+1}}{7 * 3^{n+1}}[/mm]
> > > * [mm]\bruch{2^{n+1}}{7 * 3^n}[/mm]
> >
> > Autsch, man dividiert durch einen Bruch, indem man mit dem
> > Kehrwert multipliziert, also
> >
> >
> [mm]\frac{a_{n+1}}{a_n}=a_{n+1}\cdot{}\frac{1}{a_n}=\frac{2^{n+2}}{7\cdot{}3^{n+1}}\cdot{}\frac{7\cdot{}3^n}{2^{n+1}}=\frac{2}{3}\longrightarrow \frac{2}{3}<1[/mm]
> > für [mm]n\to\infty[/mm]
>
> Wow wie schnell du bist! schon geantwortet!
> JA! Autsch! ich hab das kurz darauf auch gesehen und noch
> korrigiert...
>
> und [mm]3^{n+1}[/mm] darf man einfach mit [mm]3^n[/mm] kürzen? gleiche basen
> ok, aber ungleiche exponenten? ich hab bisher kaum mit
> solchen brüchen rechnen müssen..daher kenn ich diese
> rechenregel noch nicht.
Du willst mich auf den Arm nehmen, das kennst du seit dem Kindergarten.
Einfachste Potenzgesetze:
[mm] $3^{n+1}=3\cdot{}3^n$ [/mm] usw. ...
> Aber gut dass es dieses Forum gibt!
Ja! Finde ich auch!
>
> Dank Dir erstmal...den rest muss ich noch überdenken.
Das ist ein löbliches Vorhaben 
Viel Spaß und Erfolg dabei.
Kannst ja mal posten, was du dann raus bekommst ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:13 Do 27.05.2010 | | Autor: | ATDT |
Ok! ist der Grenzwert [mm] \bruch{2}{7} [/mm] ? :D
lg ATDT
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Ok! ist der Grenzwert [mm]\bruch{2}{7}[/mm] ? :D
Nein, wir hatten: [mm] $\frac{2}{7}\cdot{}\sum\limits_{n=2}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^n$
[/mm]
Es ist [mm] $\sum\limits_{n=2}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ \sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^n \ \right]-\left(\frac{2}{3}\right)^0-\left(\frac{2}{3}\right)^1 [/mm] \ = \ [mm] \frac{1}{1-\frac{2}{3}}-1-\frac{2}{3} [/mm] \ = \ [mm] 3-\frac{5}{3} [/mm] \ = \ [mm] \frac{4}{3}$
[/mm]
Nun den Vorfaktor noch dazupacken, dann ergibt sich als Reihenwert? ...
>
> lg ATDT
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 Do 27.05.2010 | | Autor: | ATDT |
Vielen Dank schachuzipus!
mit dem Faktor ergibt sich [mm] \bruch{8}{21} [/mm]
Ich hab versucht diese Aufgabe analog zu einer ähnlichen zu machen. Dort war der index anders. War wohl nix :P nun gut. Dank dir weiss ich jetzt wie man das rechnet.
lg ATDT
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Vielen Dank schachuzipus!
> mit dem Faktor ergibt sich [mm]\bruch{8}{21}[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Ganz recht!
>
> Ich hab versucht diese Aufgabe analog zu einer ähnlichen
> zu machen. Dort war der index anders. War wohl nix :P nun
> gut. Dank dir weiss ich jetzt wie man das rechnet.
Das ist gut zu hören ...
>
> lg ATDT
Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
