Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Reihen [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_n [/mm] und [mm] \summe_{n=1}^{\infty} b_n [/mm] sind gegeben durch
[mm] a_n= \bruch{1}{n} [/mm] + [mm] \bruch{(-1)^n}{n^2}, b_n= \bruch{1}{n^2} [/mm] + [mm] \bruch{(-1)^n}{n} [/mm] für alle n [mm] \in \IN.
[/mm]
Man bestimme, welche der beiden Reihen konvergiert oder divergiert. |
Hallo:)
[mm] a_n= \bruch{1}{n} [/mm] + [mm] \bruch{(-1)^n}{n^2} [/mm] ist monoton fallend und für die beiden Teilfolgen gilt, dass die Folge der geraden Zahlen wächst und die Folge der ungeraden Zahlen auch wächst. [mm] S_1 \le S_3 \le S_5 \le [/mm] ... und [mm] S_0 \le S_2 \le S_4 \le [/mm] ...
[mm] b_n= \bruch{1}{n^2} [/mm] + [mm] \bruch{(-1)^n}{n} [/mm] ist monoton wachsend und für die beiden Teilfolgen gilt, dass die Folge der geraden Zahlen wächst und die Folge der ungeraden Zahlen fällt. [mm] S_1 \ge S_3 \ge S_5 \ge [/mm] ... und [mm] S_0 \le S_2 \le S_4 \le [/mm] ...
Ich wollte das Leibnitz Kriterium für alternierende Reihen verwenden, welches besagt: [mm] (a_n) [/mm] mononton fallende Nullfolge mit [mm] a_n \ge [/mm] 0 für alle n [mm] \in \IN, [/mm] dann konvergiert die alternierende Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n.
[/mm]
Nun weiß ich jedoch nicht, wie ich das genau anwenden soll, auf meine Aufgabe (beide sind Nullfolgen), allerdings weiß ich nicht, wie ich rausfinde, ob die konvergieren.
Viele Liebe Grüße,
friekeline
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:36 Fr 26.11.2010 | | Autor: | fred97 |
1. Nimm mal an, [mm] \sum a_n [/mm] wäre konvergent . Bekannt dürfte sein, dass [mm] \sum\bruch{(-1)^n}{n^2} [/mm] konvergiert (Leibniz !)
Dann wäre auch [mm] \sum (a_n-\bruch{(-1)^n}{n^2}) [/mm] konvergent.
Kann das sein ?
2. Ist [mm] \sum\bruch{1}{n^2} [/mm] konvergent ? Ist [mm] \sum\bruch{(-1)^n}{n} [/mm] konvergent ?
Was kannst Du dann über [mm] \sum b_n [/mm] sagen ?
FRED
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Hallo ich sitze auch an dieser Aufgabe und bei mir stehen noch Probleme bei der Bearbeitung auf dem Plan..
> 1. Nimm mal an, [mm]\sum a_n[/mm] wäre konvergent . Bekannt dürfte
> sein, dass [mm]\sum\bruch{(-1)^n}{n^2}[/mm] konvergiert (Leibniz
> !)
>
> Dann wäre auch [mm]\sum (a_n-\bruch{(-1)^n}{n^2})[/mm] konvergent.
>
> Kann das sein ?
Dieser Aufgaben teil macht mir noch Probleme. Eigentlich müsste es ja konvergent sein, weil die Partialsummen nach unten beschränkt sind. oder sehe ich das falsch?
> 2. Ist [mm]\sum\bruch{1}{n^2}[/mm] konvergent ? Ist
> [mm]\sum\bruch{(-1)^n}{n}[/mm] konvergent ?
>
> Was kannst Du dann über [mm]\sum b_n[/mm] sagen ?
>
Naja dann müsste die Summe doch divergent sein weil der zweite Term der Summe divergent ist dann müsste die Summe das insgesamt doch auch sein oder?
Aber größeres Problem bereitet es mir glaube ich dies formal aufzuschreiben. Ich kann doch nicht einfach aufschreiben [mm] a_{n} [/mm] konvergiert, weil ...
bzw
[mm] b_{n} [/mm] divergiert weil oder?
LG Schmetterfee
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:39 Sa 27.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu 2. warum divergiert der zweite Teil? schon mal was von leibnizreihe oder kriteriom gehört?
allgemein: du versuchst zu formulieren, weil dus ja lernen willst. dann meckern wir dran rum, wenn es zuschlecht ist.
du hast in denVorlesungen und büchern ja viel richtig formulierte Beweise, dir hier noch einen vorzumachen kann also nix brngen.
Gruss leduart
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> Hallo
> zu 2. warum divergiert der zweite Teil? schon mal was von
> leibnizreihe oder kriteriom gehört?
Hallo
ich habe meine Fehler schon endteckt natürlich konvergiert diese Reihe also auch [mm] b_{n} [/mm] insgesamt und somit müssten beide Reihen dieser Aufgabe konvergieren...
> allgemein: du versuchst zu formulieren, weil dus ja lernen
> willst. dann meckern wir dran rum, wenn es zuschlecht ist.
> du hast in denVorlesungen und büchern ja viel richtig
> formulierte Beweise, dir hier noch einen vorzumachen kann
> also nix brngen.
Es tut mir leid das ich so eine Frage stelle. Natürlich habe ich viele korekte Beweise in den Büchern es fällt mir aber tatsächlich schwer dies auf konkrete Beispiele wie ihr zu übertragen. Deshalb dachte ich man könnte mir bei einem Beispiel dabei helfen. aber entschuldigung für die unpassende Frage
LG Schmetterfee
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:31 Sa 27.11.2010 | | Autor: | abakus |
> > Hallo
> > zu 2. warum divergiert der zweite Teil? schon mal was
> von
> > leibnizreihe oder kriteriom gehört?
> Hallo
> ich habe meine Fehler schon endteckt natürlich
> konvergiert diese Reihe also auch [mm]b_{n}[/mm] insgesamt und somit
> müssten beide Reihen dieser Aufgabe konvergieren...
Nein. Die Reihe [mm] a_n [/mm] divergiert, weil die harmonische Reihe divergiert.
Der zweite alternierende Summand sorgt lediglich dafür, dass die einzelnen Glieder der Partialsummenfolge ein wenig um die entsprechenden Werte der harmonischen Reihe "herumtaumeln".
Gruß Abakus
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> > allgemein: du versuchst zu formulieren, weil dus ja lernen
> > willst. dann meckern wir dran rum, wenn es zuschlecht ist.
> > du hast in denVorlesungen und büchern ja viel richtig
> > formulierte Beweise, dir hier noch einen vorzumachen kann
> > also nix brngen.
>
> Es tut mir leid das ich so eine Frage stelle. Natürlich
> habe ich viele korekte Beweise in den Büchern es fällt
> mir aber tatsächlich schwer dies auf konkrete Beispiele
> wie ihr zu übertragen. Deshalb dachte ich man könnte mir
> bei einem Beispiel dabei helfen. aber entschuldigung für
> die unpassende Frage
>
> LG Schmetterfee
>
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Hallo und vielen Dank für die liebe Hilfe,
> 1. Nimm mal an, [mm]\sum a_n[/mm] wäre konvergent . Bekannt dürfte
> sein, dass [mm]\sum\bruch{(-1)^n}{n^2}[/mm] konvergiert (Leibniz
> !)
jap, das kann ich nachvollziehen,..
> Dann wäre auch [mm]\sum (a_n-\bruch{(-1)^n}{n^2})[/mm] konvergent.
aber wieso das? ich habe ja nur angenommen, dass [mm] a_n [/mm] (ist damit eingetlich der erste bruch der folge geimein, oder doch "ganz" [mm] a_n?) [/mm] und wieso zieht man von [mm] a_n [/mm] den konvergierenden teil ab? wraum soll ich das machen? (ich verstehe den gedanken dahinter ledier noch nicht)
wenn [mm] \sum\bruch{(-1)^n}{n^2} [/mm] nach leibniz konvergiert und [mm] \sum\bruch{1}{n} [/mm] (geom. Reihe--> divergent), dann divergiert doch auch die summe der beiden, oder funktioniert das so nicht?
> Kann das sein ?
>
> 2. Ist [mm]\sum\bruch{1}{n^2}[/mm] konvergent ? Ist
ja
> [mm]\sum\bruch{(-1)^n}{n}[/mm] konvergent ?
hmmm.. nach leibniz würde ich fast ja sagen, da 1/n doch eine monoton fallende nullfolge ist, oder?? aber [mm] \sum\bruch{1}{n} [/mm] ist ja auch die geometrische reihe... und die divergiert soweit ich weiß..aber ich glaube, dass ich da nur auf die definition schauen muss, also konvergiert die reihe (da sie alternierend ist) nach leibniz.
> Was kannst Du dann über [mm]\sum b_n[/mm] sagen ?
>
> FRED
Vielen Dank
friekeline
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> Hallo und vielen Dank für die liebe Hilfe,
> > 1. Nimm mal an, [mm]\sum a_n[/mm] wäre konvergent . Bekannt
> dürfte
> > sein, dass [mm]\sum\bruch{(-1)^n}{n^2}[/mm] konvergiert (Leibniz
> > !)
> jap, das kann ich nachvollziehen,..
> > Dann wäre auch [mm]\sum (a_n-\bruch{(-1)^n}{n^2})[/mm]
> konvergent.
> aber wieso das? ich habe ja nur angenommen, dass [mm]a_n[/mm] (ist
> damit eingetlich der erste bruch der folge geimein, oder
> doch "ganz" [mm]a_n?)[/mm] und wieso zieht man von [mm]a_n[/mm] den
> konvergierenden teil ab? wraum soll ich das machen? (ich
> verstehe den gedanken dahinter ledier noch nicht)
Ok, der Gedanke dahinter ist der: Wäre [mm] $\summe a_n [/mm] = [mm] \summe \bruch{1}{n} [/mm] + [mm] \bruch{(-1)^n}{n^2}$ [/mm] und [mm] $\sum\bruch{(-1)^n}{n^2}$ [/mm] konvergent, so auch
[mm] $\summe \left(a_n - \bruch{(-1)^n}{n^2}\right) [/mm] = [mm] \summe \left(\bruch{1}{n} + \bruch{(-1)^n}{n^2} - \bruch{(-1)^n}{n^2}\right) [/mm] = [mm] \summe \bruch{1}{n}$
[/mm]
Was aber offensichtlich nicht gilt.
D.h. die eine der beiden Ausgangssummen war NICHT konvergent, da wir von der einen aber ganz sicher wissen, dass die konvergiert, kann es nur die andere [mm] $\summe a_n$ [/mm] gewesen sein, die nicht konvergent ist.
> wenn [mm]\sum\bruch{(-1)^n}{n^2}[/mm] nach leibniz konvergiert und
> [mm]\sum\bruch{1}{n}[/mm] (geom. Reihe--> divergent), dann
> divergiert doch auch die summe der beiden, oder
> funktioniert das so nicht?
Begrifflichkeiten bitte nochmal lernen.
Du meinst die harmonische Reihe und nicht die geometrische!
Aber die Idee hast du verstanden.
> > [mm]\sum\bruch{(-1)^n}{n}[/mm] konvergent ?
> hmmm.. nach leibniz würde ich fast ja sagen, da 1/n doch
> eine monoton fallende nullfolge ist, oder??
Ja!
> aber [mm]\sum\bruch{1}{n}[/mm] ist ja auch die geometrische reihe...
harmonische Reihe
> und die divergiert soweit ich weiß..
korrekt.
> aber ich glaube, dass ich
> da nur auf die definition schauen muss, also konvergiert
> die reihe (da sie alternierend ist) nach leibniz.
Alternierend und [mm] |a_n| [/mm] ist monoton fallend!
Die alternierende harmonische Reihe ist ein schönes Beispiel einer konvergenten, aber NICHT absolut konvergenten Reihe.
D.h [mm] $\sum\bruch{(-1)^n}{n}$ [/mm] konvergiert, aber [mm] $\sum\left|\bruch{(-1)^n}{n}\right| [/mm] = [mm] \summe \bruch{1}{n}$ [/mm] nicht.
MFG,
Gono.
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Hallo
> Ok, der Gedanke dahinter ist der: Wäre [mm]\summe a_n = \summe \bruch{1}{n} + \bruch{(-1)^n}{n^2}[/mm]
> und [mm]\sum\bruch{(-1)^n}{n^2}[/mm] konvergent, so auch
>
> [mm]\summe \left(a_n - \bruch{(-1)^n}{n^2}\right) = \summe \left(\bruch{1}{n} + \bruch{(-1)^n}{n^2} - \bruch{(-1)^n}{n^2}\right) = \summe \bruch{1}{n}[/mm]
>
> Was aber offensichtlich nicht gilt.
> D.h. die eine der beiden Ausgangssummen war NICHT
> konvergent, da wir von der einen aber ganz sicher wissen,
> dass die konvergiert, kann es nur die andere [mm]\summe a_n[/mm]
> gewesen sein, die nicht konvergent ist.
>
Das ist doch so zusagen schon der Beweis für a oder nicht?...aber weiß ich nur weil die summe [mm] a_{n} [/mm] nicht konvergent ist automatisch das sie divergent ist?
> Alternierend und [mm]|a_n|[/mm] ist monoton fallend!
>
> Die alternierende harmonische Reihe ist ein schönes
> Beispiel einer konvergenten, aber NICHT absolut
> konvergenten Reihe.
>
> D.h [mm]\sum\bruch{(-1)^n}{n}[/mm] konvergiert, aber
> [mm]\sum\left|\bruch{(-1)^n}{n}\right| = \summe \bruch{1}{n}[/mm]
> nicht.
>
aber reicht es b wirklich die Konvergenz der beiden Teilreihen zu begründen und daraus folgt, dann bereits das die ganze [mm] \summe b_{n} [/mm] konvergent ist?
LG Schmetterfee
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 Mo 29.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Dir fehlen aber mächtig die Grundlagen !!
Zu Deiner ersten Frage: [mm] \sum a_n [/mm] heißt divergent, wenn [mm] \sum a_n [/mm] nicht konvergiert.
Das ist eine Definition !! (die Def. von "divergent")
Zu Deiner 2. Frage:
Sind [mm] \sum x_n [/mm] und [mm] \sum y_n [/mm] biede konvergent, so ist auch [mm] \sum (x_n +y_n) [/mm] konvergent.
Das ist ein Satz Deiner Vorlesung !! (Schau mal nach)
FRED
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Hallo
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> Zu Deiner ersten Frage: [mm]\sum a_n[/mm] heißt divergent, wenn
> [mm]\sum a_n[/mm] nicht konvergiert.
>
> Das ist eine Definition !! (die Def. von "divergent")
>
Klar stimmt weiß nicht wo ich mit den Gedanken war...
> Zu Deiner 2. Frage:
>
> Sind [mm]\sum x_n[/mm] und [mm]\sum y_n[/mm] biede konvergent, so ist
> auch [mm]\sum (x_n +y_n)[/mm] konvergent.
>
> Das ist ein Satz Deiner Vorlesung !! (Schau mal nach)
>
Ich wusste nicht das der Satz auch für Summen gilt wir hatten ihn nur lim [mm] (a_{n}+b_{n})= [/mm] lim [mm] a_{n} [/mm] + lim [mm] b_{n}
[/mm]
aber dann gilt es ja hier auch... und dann genügt es also wenn ich die Begründungen für Divergenz bzw Konvergenz der einzelnen Summanden notiere und daraus die Gesamtkonvergenz bzw -divergenz der Summe folgere?
LG Schmetterfee
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Huhu,
> Ich wusste nicht das der Satz auch für Summen gilt wir
> hatten ihn nur lim [mm](a_{n}+b_{n})=[/mm] lim [mm]a_{n}[/mm] + lim [mm]b_{n}[/mm]
Reihen sind doch nichts anderes als Folgen von Partialsummen!
[mm] \summe a_n [/mm] konvergiert doch per Definition genau dann, wenn [mm] $\lim s_n [/mm] $ existiert mit [mm] $s_n [/mm] := [mm] \summe_{k=1}^n a_k$.
[/mm]
Der Rest ist nun nur Rumgerechne mit Grenzwerten.
> aber dann gilt es ja hier auch... und dann genügt es also
> wenn ich die Begründungen für Divergenz bzw Konvergenz
> der einzelnen Summanden notiere und daraus die
> Gesamtkonvergenz bzw -divergenz der Summe folgere?
Genau.
MFG,
Gono.
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Danke schön für die Hilfe...wieder eine Aufgabe die mich zu neuen Erkenntsnissen gebracht hat und mich ein Stück näher der Analysis gebracht hat:)
LG Schmetterfee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:28 Mo 29.11.2010 | | Autor: | friekeline |
Ahhhh, ok^^
Ich danke euch allen sehr - ihr habt mir super viel geholfen 
LG
friekeline
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