Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:21 Mo 13.12.2010 | | Autor: | Erstie |
| Aufgabe | Beweisen oder widerlegen Sie die Konvergenz dieser Reihe
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k}{k^{2}+1} [/mm] |
Hallo,
ich habe hier das Minorantenkriterium verwendet.
[mm] \bruch{k}{k^{2}+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{k}( \bruch{k}{k+\bruch{1}{k}})
[/mm]
und hier weiß ich nicht mehr weiter
ich glaub am Ende müsste dann stehen [mm] ...>=\bruch{1}{k}
[/mm]
und da [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{k} [/mm] divergiert
divergiert auch [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k}{k^{2}+1}
[/mm]
Kann mir jemand vllt weiterhelfen?
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Hallo,
dein Ansatz [mm] \bruch{k}{k^{2}+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{k}( \bruch{k}{k+\bruch{1}{k}}) [/mm] ist richtig. Du kannst k kürzen und musst dann den Nenner des Bruches abschätzen (durch Vergrößern des Nenners solltest du für den Bruch ein Vielfaches von 1/k erhalten).
Deine weiteren Schlussfolgerungen sind richtig.
Viele Grüße
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:39 Mo 13.12.2010 | | Autor: | Erstie |
Vielen Dank für die Antwort,
ich verstehe, aber nicht wie man k kürzen kann.
könnte ich das so abschätzen:
[mm] \bruch{1}{k} [/mm] * ( [mm] \bruch{k}{k+\bruch{1}{k}} [/mm] ) >= [mm] \bruch{1}{k} [/mm] * ( [mm] \bruch{k}{k+k} [/mm] ) >= [mm] \bruch{1}{k}?
[/mm]
Gruß
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Ja, so kann man es machen. Nur das 1/k am Ende der Zeile musst du weglassen, denn das stimmt so nicht. Ich würde noch kürzen, denn du hast jetzt k+k=2k im Nenner und k im Zähler. Dadurch erhälst du 1/(2k), also 0,5/k, also ein Vielfaches von 1/k.
Viele Grüße
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 22:10 Mo 13.12.2010 | | Autor: | Erstie |
Vielen Dank für die Antwort,
ich hab mal k gekürzt und dann bekomme ich
[mm] \bruch{1}{k+\bruch{1}{k}} [/mm] >= [mm] \bruch{1}{k+k} =\bruch{1}{2k} [/mm]
aber das ist ja nicht >= [mm] \bruch{1}{k} [/mm] und dann kann ich nicht sagen, dass die Reihe divergiert?
die Reihe [mm] \bruch{1}{k} [/mm] soll meine divergente Minorante sein.
Vllt kannst du mir noch ein Tipp geben
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:18 Mo 13.12.2010 | | Autor: | Erstie |
Hat sich erledigt.
Danke nochmals =)
Gruß Erstie
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