Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für natürliche Zahlen n bezeichne d(n) die Anzahl der natürlichen Teiler
von n, z.B. ist d(1) = 1, d(4) = 3, d(10) = 4.
Zeigen Sie für komplexe z mit |z| < 1 die Identität
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{z^{n}}{1-z^{n}} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} d(n)z^{n}
[/mm]
wobei beide Reihen absolut konvergieren. Konvergiert eine der Reihen auch für |z| > 1? (Die linke Reihe heißt Lambert Reihe und die Reihe rechts ist deren Potenzreihenentwicklung
um den Nullpunkt.) |
Hallo =)
Ich weiß nicht so recht, wie ich diese Aufgabe lösen soll. Hab leider nicht mal mehr einen Ansatz oder so.
Würde mich sehr freuen, wenn ihr mir helfen könntet:)
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.uni-protokolle.de/foren/viewtopic.php?p=2171945#2171945
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Beide Reihen sind Umordnungen der Doppelreihe [mm]\sum_{n,k=1}^{\infty} z^{nk}[/mm] .
Wenn man daraus etwa eine Potenzreihe machen will, so muß man die Glieder mit gleichem Exponenten zusammenfassen. Als Beispiel nehmen wir den Exponenten 10. Wann entsteht also [mm]z^{10}[/mm] ? Oder anders gefragt: Für welche [mm]n,k[/mm] ist [mm]nk=10[/mm] ? Für [mm]n[/mm] kommen nur die Teiler von 10 in Frage, und [mm]k[/mm] liegt dann als Komplementärteiler fest. Das wären hier also [mm]n=1,2,5,10[/mm]:
[mm]z^{1 \cdot 10} + z^{2 \cdot 5} + z^{5 \cdot 2} + z^{10 \cdot 1} = 4 z^{10}[/mm]
Und um von der ersten Reihe auf diese Doppelreihe zu kommen, verwende die geometrische Reihe für [mm]\frac{1}{1 - w}[/mm] und setze [mm]w = z^n[/mm].
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