Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:22 So 16.01.2011 | | Autor: | christi |
| Aufgabe | | Man prüfe ob die Reihen: [mm] \summe_{k=1}^{\infti}\bruch{log(k)}{k^2} [/mm] und [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(1-\bruch{1}{k})^k^2 [/mm] konvergieren oder divergieren. |
Hallo!!
Ich habe versucht [mm] \bruch{log(k)}{k^2} [/mm] so abzuschätzen:
log(k)<k [mm] \Rightarrow \bruch{log(k)}{k^2}<\bruch{k}{k^2}=\bruch{1}{k} [/mm] Ich könnte jetzt sagen, dass die Reihe divergent ist, da harmonische Reihe divergiert, aber dann ist mir aufgefallen, dass es falsch ist denn das Vergleichskriterium lautet:
Gilt für jedes n [mm] 0
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}b_n [/mm] konvergiert [mm] \Rightarrow \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] konvergiert
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] divergiert [mm] \Rightarrow \summe_{n=1}^{\infty}b_n [/mm] divergiert
Wurzel- und Quotierntenkriterium liefern mir auch keine Aussagen.
Wäre nett wenn mich jemand auf richtigen Weg hinweisen würde.
Vielen Dank im Voraus
Gruß
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Hallo christie,
> Man prüfe ob die Reihen:
> [mm]\summe_{k=1}^{\infti}\bruch{log(k)}{k^2}[/mm] und
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}(1-\bruch{1}{k})^k^2[/mm] konvergieren oder
> divergieren.
> Hallo!!
> Ich habe versucht [mm]\bruch{log(k)}{k^2}[/mm] so abzuschätzen:
> log(k)<k>[mm]\Rightarrow \bruch{log(k)}{k^2}<\bruch{k}{k^2}=\bruch{1}{k}[/mm]
> Ich könnte jetzt sagen, dass die Reihe divergent ist, da
> harmonische Reihe divergiert, aber dann ist mir
> aufgefallen, dass es falsch ist denn das
> Vergleichskriterium lautet:
> Gilt für jedes n [mm]0
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}b_n[/mm] konvergiert [mm]\Rightarrow \summe_{n=1}^{\infty}a_n[/mm]
> konvergiert
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_n[/mm] divergiert [mm]\Rightarrow \summe_{n=1}^{\infty}b_n[/mm]
> divergiert
Ja, du hast gegen eine divergente Majorante abgeschätzt.
Das ist zwar ne gute Übung, bringt aber nicht viel in Bezug auf die Konvergenzuntersuchung 
Wandel die Abschätzung etwas ab:
Es ist [mm]\ln(k)\le\sqrt{k}=k^{\frac{1}{2}}[/mm]
Also [mm]\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{\ln(k)}{k^2} \ \le \ \sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{\frac{3}{2}}[/mm]
Und die Reihen des Typs [mm]\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{\alpha}}[/mm] sind für [mm]\alpha>1[/mm] konvergent (und für [mm]\alpha\le 1[/mm] divergent)
> Wurzel- und Quotierntenkriterium liefern mir auch keine
> Aussagen.
> Wäre nett wenn mich jemand auf richtigen Weg hinweisen
> würde.
> Vielen Dank im Voraus
> Gruß
</k>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:55 Mo 17.01.2011 | | Autor: | christi |
Super!! Vielen Dank!!!
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