Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Weisen Sie die Konvergenz der folgenden Reihen nach und berechnen
Sie jeweils ihre Summe.
a) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-2)^{k}}{3^{k+1}}
[/mm]
b) [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{4^{k}+5^{k}}{6^{k}}
[/mm]
c) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{2^{k}+10}{3^{k+1}} [/mm] |
Ich habe versucht die Konvergenz mittels des Quotientenkriteriums nachzuweisen. Bei a) habe ich es auch noch hinbekommen, aber bei b) und c) komme ich nicht weiter.
Meine bisherigen Überlegungen:
a) [mm] |\bruch{a_{k+1}}{a_{k}}| [/mm] = [mm] |a_{k+1}*\bruch{1}{a_{k}}|
[/mm]
[mm] |\bruch{(-2)^{k+1}*3^{k+1}}{3^{k+2}*(-2)^{k}}| [/mm] = [mm] |\bruch{(-2)*(-2)^{k}*3*3^{k}}{3^{2}*3^{k}*(-2)^{k}}| [/mm] = [mm] |\bruch{-6}{9}| [/mm] = [mm] \bruch{6}{9} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} |\bruch{a_{k+1}}{a_{k}}| [/mm] = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{2}{3} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} |\bruch{a_{k+1}}{a_{k}}| [/mm] = [mm] \bruch{2}{3} [/mm] < 1 und [mm] |\bruch{a_{k+1}}{a_{k}}| [/mm] = [mm] \bruch{2}{3} [/mm] < 1 [mm] \Rightarrow \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-2)^{k}}{3^{k+1}} [/mm] konvergent
Nun zur Berechnung der Summe: [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-2)^{k}}{3^{k+1}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3} \summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{(-2)}{3})^{k} [/mm]
Da die den Anschein einer geometrischen Reihe hat,
rechne ich weiter
[mm] \bruch{1}{3}*\bruch{1}{1-\bruch{(-2)}{3}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}*\bruch{1}{\bruch{5}{3}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}*\bruch{3}{5} [/mm] = [mm] \bruch{3}{15} [/mm] = [mm] \bruch{1}{5}
[/mm]
Stimmt das so weit?
Ist es sinnvoll b) und c) auch mit dem Quotietenkriterium zu machen oder was wäre die beste Möglichkeit?
Kann mir da vielleicht einer helfen, das wäre sehr nett.
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Hallo fireangel187,
> Weisen Sie die Konvergenz der folgenden Reihen nach und
> berechnen
> Sie jeweils ihre Summe.
>
> a) [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-2)^{k}}{3^{k+1}}[/mm]
>
> b) [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{4^{k}+5^{k}}{6^{k}}[/mm]
>
> c) [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{2^{k}+10}{3^{k+1}}[/mm]
> Ich
> habe versucht die Konvergenz mittels des
> Quotientenkriteriums nachzuweisen. Bei a) habe ich es auch
> noch hinbekommen,
Schneller bist du, wenn du das als geometr. Reihe schreibst:
[mm]a)=\frac{1}{3}\cdot{}\sum\limits_{k\ge 1}\left(-2/3\right)^k[/mm]
Und das ist eine geometrische Reihe mit [mm]q=-2/3[/mm], also [mm]|q|<1[/mm], mithin konvergent ...
> aber bei b) und c) komme ich nicht
> weiter.
>
> Meine bisherigen Überlegungen:
>
> a) [mm]|\bruch{a_{k+1}}{a_{k}}|[/mm] = [mm]|a_{k+1}*\bruch{1}{a_{k}}|[/mm]
>
> [mm]|\bruch{(-2)^{k+1}*3^{k+1}}{3^{k+2}*(-2)^{k}}|[/mm] =
> [mm]|\bruch{(-2)*(-2)^{k}*3*3^{k}}{3^{2}*3^{k}*(-2)^{k}}|[/mm] =
> [mm]|\bruch{-6}{9}|[/mm] = [mm]\bruch{6}{9}[/mm] = [mm]\bruch{2}{3}[/mm]
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} |\bruch{a_{k+1}}{a_{k}}|[/mm] =
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{2}{3}[/mm] = [mm]\bruch{2}{3}[/mm]
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} |\bruch{a_{k+1}}{a_{k}}|[/mm] =
> [mm]\bruch{2}{3}[/mm] < 1 und [mm]|\bruch{a_{k+1}}{a_{k}}|[/mm] =
> [mm]\bruch{2}{3}[/mm] < 1 [mm]\Rightarrow \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-2)^{k}}{3^{k+1}}[/mm]
> konvergent
Jo
>
> Nun zur Berechnung der Summe: [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-2)^{k}}{3^{k+1}}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{3} \summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{(-2)}{3})^{k}[/mm]
> Da die den Anschein einer geometrischen Reihe hat,
>
Ah, da machst du ja genau, was ich vorgeschlagen habe 
> rechne ich weiter
> [mm]\bruch{1}{3}*\bruch{1}{1-\bruch{(-2)}{3}}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{3}*\bruch{1}{\bruch{5}{3}}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{3}*\bruch{3}{5}[/mm] = [mm]\bruch{3}{15}[/mm] = [mm]\bruch{1}{5}[/mm]
>
> Stimmt das so weit?
Beachte, dass die geometrische Reihe in "Reinform" bei [mm]k=0[/mm] startet, deine aber erst bei [mm]k=1[/mm]
Das musst du beim Wert deiner Reihe mit berücksichtigen!
Ansonsten ist das genau der richtige Ansatz!
>
> Ist es sinnvoll b) und c) auch mit dem Quotietenkriterium
> zu machen oder was wäre die beste Möglichkeit?
Das Majorantenkriterium ist hier sehr hilfreich für einen sehr schnellen Konvergenznachweis, die Reihe in b) und c) kannst du alternativ auch auseinanderziehen, was bei der Berechnung des Reihenwertes ungemein hilft:
[mm]\sum\limits_{k\ge 0}\frac{4^k+5^k}{6^k}=\sum\limits_{k\ge 0}\left(\frac{4}{6}\right)^k+\sum\limits_{k\ge 0}\left(\frac{5}{6}\right)^k}[/mm]
c) analog
Warum darf man das machen? Das solltest du dann begründen!
>
> Kann mir da vielleicht einer helfen, das wäre sehr nett.
Gruß
schachuzipus
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Wie berücksichtige ich, dass ich bei der geometrischen Reihe bei k=1 starte?
Hab da gerade keine Vorstellung.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:21 Di 11.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wie berücksichtige ich, dass ich bei der geometrischen
> Reihe bei k=1 starte?
>
> Hab da gerade keine Vorstellung.
ist $|q| < [mm] 1\,$ [/mm] so gilt
[mm] $$\sum_{k=0}^\infty q^k=\frac{1}{1-q}$$
[/mm]
Nun gibt es zwei Möglichkeiten, um [mm] $\sum_{k=\red{1}}^\infty q^k$ [/mm] zu
berechnen:
1. Möglichkeit:
[mm] $$\sum_{k=\red{1}}^\infty q^k=\sum_{k=\red{1}}^\infty q*q^{k-1}=q*\sum_{k=\blue{\textbf{0}}}^\infty q^k=q*\frac{1}{1-q}=\frac{q}{1-q}\,.$$
[/mm]
(Diese Formel kannst Du dann verwenden.)
2. Möglichkeit:
[mm] $$\sum_{k=1}^\infty q^k=(\red{q^0}+\sum_{k=1}^\infty q^k)\red{-q_0}\;\;\;\;\stackrel{\text{beachte }q^0=1}{=}\;\;\;\;(\sum_{k=\blue{\textbf{0}}}^\infty q^k)-1=\frac{1}{1-q}-1\,.$$
[/mm]
Und wenn nun denn beide Möglichkeiten wirklich richtig sind (was sie auch
sind) - so sollte doch auch
[mm] $$(\*)\;\;\;\frac{q}{1-q}\stackrel{!}{=}\frac{1}{1-q}-1$$
[/mm]
gelten - und dass das stimmt, kannst Du ja mal nachrechnen. (Wir haben's
eigentlich hier insbesondere auch bewiesen, genauer:
Die obigen Überlegungen beweisen insbesondere, dass für alle [mm] $q\,$ [/mm] mit
$|q| < 1$ gilt:
[mm] $$\frac{q}{1-q}=\frac{1}{1-q}-1\,.$$
[/mm]
Aber: Diese Gleichheit aus [mm] $(\*)$ [/mm] kann man mit elementaren Kenntnissen
in der Bruchrechnung sogar für alle $q [mm] \not=1$ [/mm] zeigen!)
Gruß,
Marcel
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Nun habe ich das versucht anzuwenden
[mm] \sum_{k=1}^{\infty} q^k=\sum_{k=1}^{\infty} q\cdot{}q^{k-1}=q\cdot{}\sum_{k=0}^{\infty} q^k=q\cdot{}\frac{1}{1-q}=\frac{q}{1-q}
[/mm]
[mm] \sum_{k=1}^{\infty} (\bruch{2}{3})^k=\frac{\bruch{2}{3}}{1-\bruch{2}{3}}=\bruch{\bruch{2}{3}}{\bruch{1}{3}}=\bruch{2*3}{3*1}=\bruch{6}{3}=2
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(-2)^{k}}{3^{k+1}}=2
[/mm]
stimmt das jetzt soweit?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:16 Di 11.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
vorhin hattest du richtig q=(-2/3) warum rechnest du jetzt mit q=2/3? das ist falssch. Du musst nur noch von deinen 1/5 die du hattest 1 abziehen.
Gruss leduart
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habe jetzt für [mm] q=\bruch{-2}{3 } [/mm] eingesetzt.
nun habe ich als Lösung [mm] \bruch{-2}{5}
[/mm]
ist das jetzt richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:39 Di 11.12.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo fireangel!
Das sieht schon viel besser aus. Nun noch an den "Vorfaktor" [mm] $\tfrac{1}{3}$ [/mm] denken.
Gruß
Loddar
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Achso das hatte ich jetzt vergessen.
Also muss ich noch [mm] \bruch{-2}{5}*\bruch{1}{3} [/mm] rechnen und komme auf die Lösung [mm] \bruch{-2}{15}
[/mm]
jetzt richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:49 Di 11.12.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Das habe ich auch erhalten. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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Versuche mich immer wieder an b) und c).
Aber komme mit dem Majorantenkriterium irgendwie nicht klar. Habe dabei ein Verständnisproblem.
Kann mir vielleicht jemand ein Lösungsanstoß zu den Teilaufgaben geben?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:18 Di 11.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] 4^k+5^k<2*5^k
[/mm]
[mm] 2^k+10<2^{k+1} [/mm] für k>3
Gruss leduart
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Glaube jetzt habe ich es verstanden
b) [mm] a_{k} [/mm] ist die gegebene Summe
[mm] b_{k}=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{2*5^k}{6^k}
[/mm]
Für [mm] b_{k} [/mm] hab ich mit dem Quotientenkriterium gezeigt, dass die Reihe konvergent ist. [mm] (\bruch{5}{6}<1)
[/mm]
[mm] 0\le a_{k} \le b_{k} \Rightarrow a_{k} [/mm] konvergent, da [mm] b_{k} [/mm] konvergente Majorante zu [mm] a_{k}
[/mm]
c) [mm] a_{k} [/mm] ist die gegebene Summe
[mm] b_{k}=\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{2^{k+1}}{3^{k+1}} [/mm] für [mm] k\in \IN, [/mm] k>3
Für [mm] b_{k} [/mm] hab ich mit dem Quotientenkriterium gezeigt, dass die Reihe konvergent ist. [mm] (\bruch{2}{3}<1)
[/mm]
[mm] 0\le a_{k} \le b_{k} \Rightarrow a_{k} [/mm] konvergent, da [mm] b_{k} [/mm] konvergente Majorante zu [mm] a_{k}
[/mm]
Ist das soweit richtig?
Und wie berechne ich dann die Summe?
Kann ich da auch die geometrische Reihe anwenden?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:58 Mi 12.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
dass die geom. Reihe für q<1 konvergiert musst du nicht immer wieder mit QK beweisen!
deine Schreibweise mit [mm] a_k [/mm] und [mm] b_k [/mm] ist falsch da die Summe ja nur den Laufindes k hat. schreib einfach die 2 summen mit < hin, warum neue Namen?
zur Berechnung die Summe in 2 Summen, beide geometrische Reihen, aufteilen.
Gruss leduart
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ok habe es glaube jetzt verstanden
b) [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{4^{k}+5^{k}}{6^{k}}=\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{4^{k}}{6^{k}}+\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{5^{k}}{6^{k}}
[/mm]
somit habe ich [mm] q_{1}=\bruch{4}{6} [/mm] und [mm] q_{2}=\bruch{5}{6}
[/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} q_{1}^2+\summe_{k=0}^{\infty} q_{2}^2=\bruch{1}{1-q_{1}}+\bruch{1}{1-q_{2}}=\bruch{1}{1-\bruch{4}{6}}+\bruch{1}{1-\bruch{5}{6}}=\bruch{1}{\bruch{2}{6}}+\bruch{1}{\bruch{1}{6}}=\bruch{6}{2}+\bruch{6}{1}=3+6=9
[/mm]
c) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{2^{k}+10}{3^{k+1}}=\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{2^{k}}{3^{k+1}}+\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{10}{3^{k+1}}=\bruch{1}{3}*\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{2^{k}}{3^{k}}+\bruch{10}{3}*\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1^{k}}{3^{k}}=\bruch{1}{3}*\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{2^{k+1}}{3^{k+1}}+\bruch{10}{3}*\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1^{k+1}}{3^{k+1}}=\bruch{1}{3}*\bruch{2}{3}*\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{2^{k}}{3^{k}}+\bruch{10}{3}*\bruch{1}{3}*\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1^{k}}{3^{k}}
[/mm]
somit habe ich [mm] q_{1}=\bruch{2}{3} [/mm] und [mm] q_{2}=\bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] \bruch{2}{9}*\summe_{k=0}^{\infty} q_{1}^2+\bruch{10}{9}*\summe_{k=0}^{\infty} q_{2}^2=\bruch{2}{9}*\bruch{1}{1-q_{1}}+\bruch{10}{9}*\bruch{1}{1-q_{2}}=\bruch{2}{9}*\bruch{1}{1-\bruch{2}{3}}+\bruch{10}{9}*\bruch{1}{1-\bruch{1}{3}}=\bruch{2}{9}*\bruch{1}{\bruch{1}{3}}+\bruch{10}{9}*\bruch{1}{\bruch{2}{3}}=\bruch{2}{9}*3+\bruch{10}{9}*\bruch{3}{2}=\bruch{6}{9}+\bruch{30}{18}=\bruch{2}{3}+\bruch{5}{3}=\bruch{7}{3}=2\bruch{1}{3}
[/mm]
Ist das jetzt soweit richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:45 Mi 12.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ok habe es glaube jetzt verstanden
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> b) [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{4^{k}+5^{k}}{6^{k}}=\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{4^{k}}{6^{k}}+\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{5^{k}}{6^{k}}[/mm]
[mm] $$=\sum_{k=0}^\infty (4/6)^k [/mm] + [mm] \sum_{k=0}^\infty (5/6)^k$$
[/mm]
würde ich - der Deutlichkeit wegen - noch dazuschreiben...
> somit habe ich [mm]q_{1}=\bruch{4}{6}[/mm] und [mm]q_{2}=\bruch{5}{6}[/mm]
... und natürlich kann man [mm] $4/6=2/3\,$ [/mm] verwenden!
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} q_{1}^2+\summe_{k=0}^{\infty} q_{2}^2=\bruch{1}{1-q_{1}}+\bruch{1}{1-q_{2}}=\bruch{1}{1-\bruch{4}{6}}+\bruch{1}{1-\bruch{5}{6}}=\bruch{1}{\bruch{2}{6}}+\bruch{1}{\bruch{1}{6}}=\bruch{6}{2}+\bruch{6}{1}=3+6=9[/mm]
(Aber wie gesagt: Die Ergänzung oben würde ich machen, und zudem
DARFST du kürzen, wenn es angebracht ist!)
> c) [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{2^{k}+10}{3^{k+1}}=\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{2^{k}}{3^{k+1}}+\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{10}{3^{k+1}}=\bruch{1}{3}*\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{2^{k}}{3^{k}}+\bruch{10}{3}*\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1^{k}}{3^{k}}=\bruch{1}{3}*\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{2^{k+1}}{3^{k+1}}+\bruch{10}{3}*\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1^{k+1}}{3^{k+1}}=\bruch{1}{3}*\bruch{2}{3}*\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{2^{k}}{3^{k}}+\bruch{10}{3}*\bruch{1}{3}*\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1^{k}}{3^{k}}[/mm]
[mm] $$=:(\*)$$
[/mm]
>
> somit habe ich [mm]q_{1}=\bruch{2}{3}[/mm] und [mm]q_{2}=\bruch{1}{3}[/mm]
[mm] $$\Longrightarrow \;\;\;(\*)=$$
[/mm]
> [mm]\bruch{2}{9}*\summe_{k=0}^{\infty} q_{1}^\red{\textbf{2}}+\bruch{10}{9}*\summe_{k=0}^{\infty} q_{2}^\red{\textbf{2}}[/mm]
Ersetze den Vertipper [mm] $\red{\textbf{2}}$ [/mm] durch [mm] $k\,.$
[/mm]
> [mm]=\bruch{2}{9}*\bruch{1}{1-q_{1}}+\bruch{10}{9}*\bruch{1}{1-q_{2}}=\bruch{2}{9}*\bruch{1}{1-\bruch{2}{3}}+\bruch{10}{9}*\bruch{1}{1-\bruch{1}{3}}=\bruch{2}{9}*\bruch{1}{\bruch{1}{3}}+\bruch{10}{9}*\bruch{1}{\bruch{2}{3}}=\bruch{2}{9}*3+\bruch{10}{9}*\bruch{3}{2}=\bruch{6}{9}+\bruch{30}{18}=\bruch{2}{3}+\bruch{5}{3}=\bruch{7}{3}=2\bruch{1}{3}[/mm]
>
>
> Ist das jetzt soweit richtig?
Ja, nur könnte man auch schon vorher kürzen und günstiger rechnen:
Beispielsweise ('über "Kreuz" kürzen')
[mm] $$\frac{2}{9}*\frac{1}{1-\frac{2}{3}}=\frac{2}{\red{9}}*\frac{1}{\frac{1}{\red{3}}}\;\;\;\left(=\frac{2}{3}*\frac{1}{\frac{1}{1}}\right)\;\;\;=\frac{2}{3}\,,$$
[/mm]
was Du auch so rechnen könntest
[mm] $$\frac{2}{9}*\frac{1}{1-\frac{2}{3}}=\frac{2}{\red{9}}*\red{3}=\frac{2}{3}*1=\frac{2}{3}\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Danke für deine Hinweise ... werde sie noch beachten bei der Reinschrift.
Aber solange die Lösung schon mal stimmt bin ich beruhigt.
Danke für eure Hilfen.
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