Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweisen oder widerlegen Sie, dass die folgenden Reihen konvergieren:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}(\frac{1}{n}+\frac{(-1)^n}{n^2}) [/mm] |
Hallo,
ich wollte mal fragen wie man mit dieser Reihe umgehen soll.
Ich würde mal behaupten sie divergiert weil [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} [/mm] divergiert.
Stimmt das so?
Gruß helicopter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:44 So 08.12.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo helicopter!
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}(\frac{1}{n}+\frac{(-1)^n}{n^2})[/mm]
Das soll doch bestimmt heißen: [mm]\summe_{\red{n}=1}^{\infty}(\frac{1}{n}+\frac{(-1)^n}{n^2})[/mm]
Ansonsten macht die Aufgabe wenig Sinn.
> Ich würde mal behaupten sie divergiert weil [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}[/mm] divergiert.
Die Behauptung an sich stimmt so. Für den Nachweis, zerlege die Reihe in zwei Teilreihen und betrachte beide Teilreihen separat.
[mm]\summe_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}+\frac{(-1)^n}{n^2}\right) \ = \ \summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}+\summe_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}[/mm]
Gruß
Loddar
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Hallo,
vielen Dank.
> Das soll doch bestimmt heißen:
> [mm]\summe_{\red{n}=1}^{\infty}(\frac{1}{n}+\frac{(-1)^n}{n^2})[/mm]
> Ansonsten macht die Aufgabe wenig Sinn.
Ja habe den Tex Code kopiert und vergessen den Index zu ändern :)
> Die Behauptung an sich stimmt so. Für den Nachweis,
> zerlege die Reihe in zwei Teilreihen und betrachte beide
> Teilreihen separat.
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}+\frac{(-1)^n}{n^2}\right) \ = \ \summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}+\summe_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}[/mm]
Ja den Nachweis für Divergenz von der ersten Teilreihe habe ich schon.
Also divergiert die ganze Reihe wenn eine Teilreihe divergent ist, habe ich das
richtig verstanden?
Denn [mm] $\summe_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}$ [/mm] konvergiert ja nach dem Leibniz Kriterium.
Gruß helicopter
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:11 So 08.12.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Helicopter!
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}+\frac{(-1)^n}{n^2}\right) \ = \ \summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}+\summe_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}[/mm]
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> Ja den Nachweis für Divergenz von der ersten Teilreihe
> habe ich schon.
> Also divergiert die ganze Reihe wenn eine Teilreihe
> divergent ist, habe ich das richtig verstanden?
So pauschal kannst Du das nicht sagen.
Denn es könnten beide Teilreihen divergieren, die Gesamtreihe aber konvergieren.
Aber wenn eine Teilreihe konvergiert und die andere divergent ist, ist auch die Gesamtreihe divergent.
> Denn [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^2}[/mm] konvergiert ja nach dem Leibniz Kriterium.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:18 So 08.12.2013 | | Autor: | helicopter |
Okay, vielen Dank.
Gruß helicopter
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