Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:08 Mo 16.12.2013 | | Autor: | Alex1993 |
Hey
ich will beweise, dass die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{n}i^{k} [/mm] gegen 0 konvergiert bzw. das die Partialsummenfolge beschränkt ist. Generell könnte man dies ja mit der geometrischen Reihe widerlegen. Allerdings setzt die Konvergenz der Reihe ja vorraus, das |i| < 1 ist.
Also ich weiß ja das [mm] i^1=i [/mm] , [mm] i^2=-1 i^3=-i i^4=1 [/mm] usw...
aber kann man pauschal behaupten dass |i| < 1 ist? bzw wie soll man sonst die konvergenz beweisen?
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Hallo,
> Hey
> ich will beweise, dass die Reihe [mm]\summe_{k=1}^{n}i^{k}[/mm]
> gegen 0 konvergiert.
Das ist ein sehr ambitioniertes Vorhaben, um genau zu sein: etwas zu ambitioniert.
> Generell könnte man dies ja mit der
> geometrischen Reihe widerlegen.
Willst du es jetzt zeigen oder widerlegen (die Konvergenz)???
> Allerdings setzt die
> Konvergenz der Reihe ja vorraus, das |i| < 1 ist.
> Also ich weiß ja das [mm]i^1=i[/mm] , [mm]i^2=-1 i^3=-i i^4=1[/mm] usw...
> aber kann man pauschal behaupten dass |i| < 1 ist? bzw wie
> soll man sonst die konvergenz beweisen?
Gar nicht. Vorher etwas Nachdenken über solche Vorhaben. [mm]i[/mm] ist die imaginäre Einheit und wie der Name schon sagt (es folgt aber auch aus der Definition mit [mm] i^2=-1) ist [/mm] natürlich |i|=1.
Schau doch mal, was deine Reihenglieder machen. Wenn du k etwas hochzählst, dürfte es deiner Reihe ziemlich schwindlig werden, denn die Potenzen von [mm] i^k [/mm] nehmen für natürliche k periodisch die Werte aus {i;-1;-i;1} für k=1,2,3,4,... an. Das ist also weit davon entfernt, konvergent zu sein. Sondern: die Reihe hat eben vier Häufungspunkte und andere Werte nimmt sie gar nicht an.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 Mo 16.12.2013 | | Autor: | Alex1993 |
okay danke, reicht es die 4 Häufungspunkte zu beweisen in dem ich unterteile in 4 Fälle also 4n+1, 4n+2, 4n+3 und 4n?
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Hallo Alex,
ehrlich gesagt, verstehe ich dein Ziel nicht.
Sei i die imaginäre Einheit, dann ist die Reihe [mm] \sum_{k=0}^\infty{i^k} [/mm] mitnichten konvergent. Sie ist divergent.
Auch sind die Partialsummen keineswegs nur 1, -1, i, -i. Hier gibt es noch mehr.
So ist z.B. [mm] \sum_{k=0}^1{i^k}=1+i.
[/mm]
Was ist also nun genau dein Ziel?
Konvergenz kannst du einfach nicht zeigen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:10 Di 17.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hey
> ich will beweise, dass die Reihe [mm]\summe_{k=1}^{n}i^{k}[/mm]
> gegen 0 konvergiert bzw. das die Partialsummenfolge
> beschränkt ist. Generell könnte man dies ja mit der
> geometrischen Reihe widerlegen. Allerdings setzt die
> Konvergenz der Reihe ja vorraus, das |i| < 1 ist.
> Also ich weiß ja das [mm]i^1=i[/mm] , [mm]i^2=-1 i^3=-i i^4=1[/mm] usw...
> aber kann man pauschal behaupten dass |i| < 1 ist? bzw wie
> soll man sonst die konvergenz beweisen?
Für
[mm]\summe_{k=1}^{n}i^{k}[/mm]
bemühe mal die Summenformel für die endliche geom. Reihe.
FRED
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