Konvergenz von Reihen 3 < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:39 Do 12.12.2013 | | Autor: | Alex1993 |
soo ich habe nun die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\frac{-2^{n} + 3^{n}}{6^{n}} [/mm] und soll die Konvergenz bestimmen
meine Idee:
Ich benutze das Majorantenkriterium und erhalte:
[mm] \frac{-2^{n} + 3^{n}}{6^{n}} \le \frac{3^{n}}{6^{n}} [/mm] = [mm] (1/2)^{n} [/mm] = [mm] 1/2^{n} [/mm] und [mm] 1/2^{n} [/mm] divigiert doch für alle n<1 und konvergiert für alle n>1 oder? bin ich auf dem Holzweg?
Liebe Grüße
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> soo ich habe nun die Reihe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\frac{-2^{n} * 3^{n}}{6^{n}}[/mm] und soll
Benutze erst einmal die Potenzgesetze um deinen Bruch zu vereinfachen.
> Holsweg?
Du meinst wohl [mm] "Hol$\red{z}$weg"
[/mm]
Valerie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:54 Do 12.12.2013 | | Autor: | Alex1993 |
im Eingangspost habe ich mich verschrieben. vielleicht kannst du jetzt nochmal nachsehen. habe jetzt den Term verbessert
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:57 Do 12.12.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Alex!
Mein Vorschlag: zerlege den Summenterm in zwei Teilreihen und untersuche beide Teilreihen separat.
Ansonsten stimmen Deine Abschätzung und Deine Umformung durchaus. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Aber Dein Fazit ist leider falsch.
Denn für $|q| \ < \ 1$ konvergiert doch die Reihe [mm] $\summe_{k=0}^{\infty}q^k$ [/mm] (Stichwort: geometrische Reihe).
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:05 Do 12.12.2013 | | Autor: | Alex1993 |
danke für deine Antwort aber leider habe ich selber einen Fehler in meinen Umformungen gefunden. Denn der Term heißt ja:
[mm] \frac{(-2)^{n} + 3^{n}}{6^{n}} [/mm] und dann stimmen meine Abschätzungen nicht mehr, da [mm] (-2)^{n} [/mm] für gerade n ja positiv wird
also nochmal von vorne:
ich zerlege dies in 2 Teilsummen:
[mm] \frac{(-2)^{n}}{6^{n}} [/mm] + [mm] \frac{(3)^{n}}{6^{n}} [/mm] = [mm] -(1/3)^{n} [/mm] + [mm] (1/2)^n [/mm]
und wie könnte ich jetzt weiter umformen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 Do 12.12.2013 | | Autor: | Alex1993 |
okay danke
meinst du mit 2 Teilsummen:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1/3)^{n} [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (1/2)^{n} [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:26 Do 12.12.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Alex!
> meinst du mit 2 Teilsummen: [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-1/3)^{n}[/mm] + [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (1/2)^{n}[/mm] ?
Yep!
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 Do 12.12.2013 | | Autor: | Alex1993 |
in beiden fällen ist |q| ja kleiner 1, dass heiße beide Teilsummen konvergieren. reicht es dann als Beweis die Begründung das q kleiner 1 oder muss ich die geometriche Summe noch ausformulieren?
den Grenzwert könnte ich ja auch berechnen
1/ (1+ (1/3)) + 1 / (1- 0,5 ) = 0,75 + 0,5 = 1,25 stimmt das?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:04 Fr 13.12.2013 | | Autor: | Alex1993 |
stimmt du hast recht. meine untere Grenz ist ja 1 und für die geometrische Reihe liegt die untere Grenze bei 0
Aber wie kann ich das dann umformulieren. vielleicht so:
(-1 + [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1/3)^{n} [/mm] )+ (-1 + [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(1/2)^{n} [/mm] )
dann mit Hilfe der geometrischen Summenformel umformen:
-1 + [mm] \frac{1}{1+ 1/3} [/mm] -1 + [mm] \frac{1}{1- 1/2} [/mm] = -1 + 0,75 -1 + 2 = 0,75 jetzt richtig?
PS: eine blöde Frage: die geometrische Reihe lässt sich ja umformen zu
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}s [/mm] * [mm] q^{k} [/mm] = [mm] \frac{s}{1-q} [/mm]
aber die geometrische Summenformel lautet doch eiegntlich:
[mm] \frac{1 - q^{n+1}}{1-q}
[/mm]
wie ist der Unterschied zu verstehen?
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Hallo,
> stimmt du hast recht. meine untere Grenz ist ja 1 und für
> die geometrische Reihe liegt die untere Grenze bei 0
> Aber wie kann ich das dann umformulieren. vielleicht so:
> (-1 + [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1/3)^{n}[/mm] )+ (-1 +
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(1/2)^{n}[/mm] )
> dann mit Hilfe der geometrischen Summenformel umformen:
> -1 + [mm]\frac{1}{1+ 1/3}[/mm] -1 + [mm]\frac{1}{1- 1/2}[/mm] = -1 + 0,75 -1
> + 2 = 0,75 jetzt richtig?
>
Das sieht gut aus.
>
> PS: eine blöde Frage: die geometrische Reihe lässt sich
> ja umformen zu
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}s[/mm] * [mm]q^{k}[/mm] = [mm]\frac{s}{1-q}[/mm]
>
> aber die geometrische Summenformel lautet doch eiegntlich:
> [mm]\frac{1 - q^{n+1}}{1-q}[/mm]
> wie ist der Unterschied zu
> verstehen?
Die Summenformel ist ja für die endliche geometrische Reihe deren explizite Darstellung. Der Summand [mm] q^{n+1} [/mm] geht dabei für |q|<1 gegen Null, wenn n gegen Unendlich geht. Das ist ja der 'rechnerische Grund' für den Konvergenzradius der geometrischen Reihe!
Gruß, Diophant
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![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Das Minuszeichen gehört zwingend in die Klammer!
