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Forum "Uni-Numerik" - Konvergenz von Verfahren
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Konvergenz von Verfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:48 Do 18.07.2019
Autor: Flowbro

Aufgabe
1) Zur Berechnung der Nullstelle [mm] x\in [/mm] [0,2] von [mm] x^2-4x+3=0 [/mm] sollen die Iterationsverfahren [mm] $x^{(n+1)}=f_{i}\left(x^{(n)}\right)$ [/mm] mit $i [mm] \in\{1,2,3\}$ [/mm]
[mm] $f_{1}(x)=\frac{1}{4}\left(x^{2}+3\right)$ [/mm]
[mm] $f_{2}(x)=\frac{x^{2}-3}{2 x-4}$ [/mm]
[mm] $f_{3}(x)=\sqrt{4 x-3}$ [/mm] benutzt werden. Bestimmen Sie die Konvergenzordnung der Verfahren.

2) Für a>0 soll [mm] \wurzel{a} [/mm] mit der Iterationsvorschrift [mm] $\varphi(t)=\frac{1}{2}\left(t+\frac{a}{t}\right)$ [/mm] bestimmt werden.
a) In welchem Intervall ist die Kontraktionszahl kleiner als 0,5
b) Wie viele Iterationsschritte müssen (pessimistisch) durchgefürt werden, um einen Fehler von [mm] $\epsilon=10^{-4}$ [/mm] zu gewährleisten?

Hallo Forum,

bei obigen Aufgaben brauche ich ganz dringend Hilfe, da ich am Montag meine Numerik Klausur schreibe und deshalb etwas in den Altklausuren geschmökert habe. Wäre super wenn mir jemand die Lösung und eine kurze aber verständliche Erklärung geben könnte.

Die Grundlagen beherrsche ich soweit, aus Zeitgründen schreibe ich aber jetzt nicht meine ganzen Ansätze auf...
nur soviel:
a) hier ist mir nicht genau klar, welches Verfahren man anwendet, also ob man die Verfahren jeweils ableiten muss und das Maxima raussuchen muss und es dann nur konvergiert wenn dies <1 ist. oder geht das irgendwie anders (und wie zeigt man genau den Unterscheid zwischen linear/ superlinear konvergent?)

b) hier habe ich das ganze abgeleitet und für alle t (ohne die 0) müsste die Kontraktionszahl doch kleiner als 0,5 sein?!
Welchen Startwert wählt man dann bei der Abschäzung (und verwendet man die 0,5 als Lipschitzkonstante (bzw. Kontraktionszahl)?)

        
Bezug
Konvergenz von Verfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:02 Sa 20.07.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

vorweg: Die Aufgabenstellung ist blöd gestellt. Wurde die wirklich so formuliert?

> Zur Berechnung der Nullstelle $ [mm] x\in [/mm] $ [0,2] von $ [mm] x^2-4x+3=0 [/mm] $

Entweder muss es heißen:

> Zur Berechnung der  Nullstelle $ [mm] x\in [/mm] $ [0,2] von $ [mm] x^2-4x+3$ [/mm]

oder:

> Zur Berechnung der Lösung $ [mm] x\in [/mm] $ [0,2] von $ [mm] x^2-4x+3=0 [/mm] $

Aber weiter im Text:

> Die Grundlagen beherrsche ich soweit, aus Zeitgründen
> schreibe ich aber jetzt nicht meine ganzen Ansätze auf...
>  nur soviel:
>  a) hier ist mir nicht genau klar, welches Verfahren man
> anwendet, also ob man die Verfahren jeweils ableiten muss
> und das Maxima raussuchen muss und es dann nur konvergiert
> wenn dies <1 ist. oder geht das irgendwie anders (und wie
> zeigt man genau den Unterscheid zwischen linear/
> superlinear konvergent?)

Ich vermute mal, statt a) meinst du 1.)
Du sollst fuer jedes der angegebene Verfahren die Konvergenzordnung bestimmen.
Ob du zeigen sollst, dass die Verfahren überhaupt konvergieren, oder ob du das als gegeben annehmen darfst, musst du selbst wissen.
Wie du die Konvergenzordnung bestimmen musst, hängt von den Sätzen ab, die ihr in der Vorlesung hattet...
Es gibt da einen Satz, aus dem man die Konvergenzordnung durch die Ableitung am Fixpunkt herleiten kann. Wenn ihr den hattet...
Ansonsten: Klassisch, über die Definition
  

> b) hier habe ich das ganze abgeleitet und für alle t (ohne
> die 0) müsste die Kontraktionszahl doch kleiner als 0,5
> sein?!

Müsste, hätte, sollte.... trotzdem falsch.
Ohne deine  Rechnungen, kann man dir nicht sagen, wo dein Fehler liegt.
Nein, die Ableitung ist nicht überall kleiner als 0,5

>  Welchen Startwert wählt man dann bei der Abschäzung (und
> verwendet man die 0,5 als Lipschitzkonstante (bzw.
> Kontraktionszahl)?)

Wenn man das Intervall so eingegrenzt hat, dass die Ableitung nie grösser als 0,5 ist, kann man 0,5 als Kontraktionszahl wählen. Warum?

Gruß,
Gono


Bezug
                
Bezug
Konvergenz von Verfahren: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 20:41 So 21.07.2019
Autor: Flowbro

Danke für deine Antwort,

bei 1 habe ich jetzt bei i) linear, bei ii) superlinear und bei iii)nicht konvergent herausgefunden, stimmt das soweit? und wenn nein, wieso?

bei 2: hier habe ich das ganze abgeleitet mit fʹ(x)=0,5− [mm] 0,5*\bruch{a}{t^2} [/mm] und da ist das ganze doch von 0,5 nach oben beschränkt, oder bin ich im ganzen Lernstress ganz blind geworden. Die obere Schranke der Ableitung müsste man dann ja auch als Kontraktionszahl verwenden dürfen.

Wäre super wenn du mir soweit die Lösung, (zumindest bei dem was jetzt noch nicht richtig ist) kurz und knapp mitteilen und kurz erläutern könntest, denn wie gesagt drängt die Zeit sehr :)

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz von Verfahren: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:20 Di 23.07.2019
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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