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| Aufgabe | | Konvergiert die Exponentialfunktion exp(x):= [mm] e^{x}? [/mm] |
Hallo,
ich weiß, dass ich mit dem Quotientenkriterium einfach zeigen kann, dass dem so ist. Ich verstehe allerdings nicht genau, wieso. Wenn ich mir die Funktion anschaue, so geht sie doch streng monoton wachsend gegen [mm] \infty. [/mm] Wie kann sie denn dann konvergieren?!?
Liebe Grüße
Sabine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:13 Do 22.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> Konvergiert die Exponentialfunktion exp(x):= [mm]e^{x}?[/mm]
?????? für $ x [mm] \to \infty$ [/mm] ? oder für $ x [mm] \to -\infty$ [/mm] ? oder für $ x [mm] \to [/mm] 4711$ ?
> Hallo,
> ich weiß, dass ich mit dem Quotientenkriterium einfach
> zeigen kann, dass dem so ist.
Hä, mit dem Quotientenkrit. ?? Wie geht das, mach das mal vor ?
> Ich verstehe allerdings nicht
> genau, wieso. Wenn ich mir die Funktion anschaue, so geht
> sie doch streng monoton wachsend gegen [mm]\infty.[/mm]
Ja , für $ x [mm] \to \infty$ [/mm] .
für $ x [mm] \to -\infty$ [/mm] geht sie gegen 0
> Wie kann sie
> denn dann konvergieren?!?
Präzisiere bitte Deine Frage
FRED
>
> Liebe Grüße
> Sabine
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na ja, es gilt ja:
exp(x) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^_{n}}{n!}
[/mm]
Mit dem Quotientenkriterium zeigt man:
[mm] \bruch{x^_{n+1}}{(n+1)!} [/mm] / [mm] \bruch{x^_{n}}{n!}
[/mm]
= [mm] \bruch{x*x^_{n}}{(n+1)*n!} [/mm] * [mm] \bruch{n!}{x^_{n}}
[/mm]
= [mm] \bruch{x}{n+1}
[/mm]
für n --> [mm] \infty [/mm] ist der Bruch ja kleiner als 1, also konvergiert exp(x) für [mm] n-->\infty
[/mm]
Demnach konvergiert also exp. (lässt sich so auch auf Wikipedia etc. nachlesen).
Meine Frage aber ist nun, wie das sein kann. Schließlich geht exp doch gegen [mm] \infty, [/mm] müsste also doch eigentlich divergieren, oder sehe ich das falsch?!?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:29 Do 22.04.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sabine!
Beachte, dass Du hier die ganze Zeit ein festes $x_$ betrachtest.
Daher kann diese Reihe auch jeweils für [mm] $\red{n}\rightarrow\infty$ [/mm] gegen [mm] $\exp(x)$ [/mm] konvergieren.
Und für [mm] $\red{x}\rightarrow\infty$ [/mm] überschreitet dann auch die eigentliche e-Funktion alle Grenzen.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:17 Fr 23.04.2010 | | Autor: | fred97 |
> na ja, es gilt ja:
> exp(x) = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^_{n}}{n!}[/mm]
>
> Mit dem Quotientenkriterium zeigt man:
> [mm]\bruch{x^_{n+1}}{(n+1)!}[/mm] / [mm]\bruch{x^_{n}}{n!}[/mm]
> = [mm]\bruch{x*x^_{n}}{(n+1)*n!}[/mm] * [mm]\bruch{n!}{x^_{n}}[/mm]
> = [mm]\bruch{x}{n+1}[/mm]
>
> für n --> [mm]\infty[/mm] ist der Bruch ja kleiner als 1, also
> konvergiert exp(x) für [mm]n-->\infty[/mm]
Das ist sehr unglücklich ausgedrückt. Obiges zeigt, dass für x [mm] \in \IR [/mm] (fest) die Reihe $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^_{n}}{n!} [/mm] $ konvergiert, dass also die Def.
$ [mm] exp(x):=\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^_{n}}{n!} [/mm] $
eine auf ganz [mm] \IR [/mm] definierte Funktion liefert. Diese Funktion hat die Eigenschaft:
$ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}exp(x) [/mm] = [mm] \infty$
[/mm]
>
> Demnach konvergiert also exp. (lässt sich so auch auf
> Wikipedia etc. nachlesen).
Ja, ja, da kann man so ziemlich alles nachlesen .....
> Meine Frage aber ist nun, wie das sein kann. Schließlich
> geht exp doch gegen [mm]\infty,[/mm] müsste also doch eigentlich
> divergieren, oder sehe ich das falsch?!?
Siehe oben.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:31 Fr 23.04.2010 | | Autor: | Sabine_B. |
Achso, alles klar 
Vielen Dank für eure Hilfe
Liebe Grüße
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