Konvergenz von reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:36 Di 11.12.2007 | | Autor: | alpakas |
| Aufgabe | Folgendes soll gezeigt werden:
a) Sind [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_n^{2} [/mm] und [mm] \summe_{n=1}^{\infty} b_n^{2} [/mm] konvergent, so konvergiert die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_n^{2}b_n^{2} [/mm] absolut.
b)Mit [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_n^{2} [/mm] konvergiert auch [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{\alpha}}a_n [/mm] , falls [mm] \alpha >\bruch{1}{2} [/mm] ist.
c)Konvergiert [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_n^{2} a_n [/mm] absolut, so konvergiert auch [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \wurzel{|a_n a_{n+1}|} [/mm] und [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{|a_n a_{n+1}|}{|a_n|+|a_{n+1}|} [/mm] |
Ich komme damit gar nicht klar. Und auch meine ganzen Analysisbücher helfen mir nicht weiter!! Ich hoffe, ihr könnt mir da vielleicht weiterhelfen??
lg alpakas
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 21:05 Mi 12.12.2007 | | Autor: | alpakas |
| Aufgabe | Folgendes soll gezeigt werden:
a) Sind [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a^{2}_n [/mm] und [mm] \summe_{n=1}^{\infty} b^{2}_n [/mm] konvergent, so konvergiert die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a^{2}_n b^{2}_n [/mm] absolut.
b)Mit [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a^{2}_n [/mm] konvergiert auch [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^{\alpha}} a_n [/mm] , falls [mm] \alpha>\bruch{1}{2} [/mm] ist.
c)Konvergiert [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] absolut, so konvergiert auch [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\wurzel{|a_na_{n+1}|} [/mm] und [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{|a_na_{n+1}|}{|a_n|+|a_{n+1}|} [/mm] |
Ihr müsst mir unbedingt helfen, ich komme einfach nicht weiter und bin schon echt am verzweifeln! Ich hätte die Aufgabe gern als Musterbeispiel gelöst um auch in klausuren damit klar zu kommen. Aber leider habe ich ein dummes buch, in dem keine Lösungen angegeben sind. Bitte helft mir!!
lg alpakas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:21 Mi 12.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo alpakas!
Bitte keine Doppelposts hier innerhalb des MatheRaums fabrizieren.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:28 Do 13.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo alpakas!
Sieh mal hier; da wurde eine sehr ähnliche Frage gestellt.
Gruß
Loddar
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> Folgendes soll gezeigt werden:
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> a) Sind [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_n^{2}[/mm] und
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} b_n^{2}[/mm] konvergent, so konvergiert
> die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_n^{2}b_n^{2}[/mm] absolut.
Da die Reihenglieder [mm] $\geq [/mm] 0$ sind, folgt aus der Konvergenz auch die absolute Konvergenz.
Betrachte folgende Abschätzung für die Glieder der Partialsummenfolge [mm] $s_N [/mm] := [mm] \sum_{n=1}^N a_n^2 b_n^2$:
[/mm]
[mm]0\leq \sum_{n=1}^N a_n^2 b_n^2\leq \left(\sum_{n=1}^N a_n^2\right)\cdot\left(\sum_{n=1}^N b_n^2\right)\leq \left(\sum_{n=1}^\infty a_n^2\right)\cdot\left(\sum_{n=1}^\infty b_n^2\right) < \infty[/mm]
Eine auf diese Weise nach oben beschränkte, schwach monoton wachsende Partialsummenfolge [mm] $s_N$ [/mm] konvergiert natürlich. Aber vielleicht ziehst Du es vor, auf analoge Weise zu zeigen, dass die Folge der Reststücke [mm] $r_N [/mm] := [mm] \sum_{n=N}^\infty a_n^2 b_n^2$ [/mm] gegen $0$ konvergiert - auch gut.
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> Folgendes soll gezeigt werden:
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> b)Mit [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_n^{2}[/mm] konvergiert auch
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{\alpha}}a_n[/mm] , falls
> [mm]\alpha >\bruch{1}{2}[/mm] ist.
Leider weiss ich nicht so recht, was Du als bekannt voraussetzen darfst. Mit Hilfe einer allgemeinen Form der 'Cauchy-Schwarzschen Ungleichung' für den [mm] $\IR^N$ [/mm] (untenstehend ist deren Verwendung rot markiert) erhält man
[mm]\sum_{n=1}^N\big|\frac{1}{n^\alpha} a_n\big| = \sum_{n=1}^N\frac{1}{n^\alpha} \cdot |a_n|
\quad\red{\leq}\quad \sqrt{\sum_{n=1}^N \frac{1}{n^{2\alpha}}}\cdot\sqrt{\sum_{n=1}^N a_n^2}\quad\leq\quad\sqrt{\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{2\alpha}}}\cdot\sqrt{\sum_{n=1}^\infty a_n^2}<\infty [/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:11 Do 13.12.2007 | | Autor: | Somebody |
> c)Konvergiert [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_n^{2} a_n[/mm] absolut, so
> konvergiert auch [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \wurzel{|a_n a_{n+1}|}[/mm]
> und [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{|a_n a_{n+1}|}{|a_n|+|a_{n+1}|}[/mm]
>
Bist Du sicher, dass Du die Voraussetzung [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_n^{2} a_n[/mm] richtig geschrieben hast? - Sollte dies nicht vielmehr [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_n[/mm] sein?
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> Folgendes soll gezeigt werden:
> c)Konvergiert [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_n^{2} a_n[/mm] absolut, so
> konvergiert auch [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \wurzel{|a_n a_{n+1}|}[/mm]
> und [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{|a_n a_{n+1}|}{|a_n|+|a_{n+1}|}[/mm]
>
Da Du auf meine Rückfrage bisher nicht geantworet hast, nehme ich einfach einmal an, dass die obige Aufgabenstellung eigentlich wie folgt lauten sollte:
> c)Konvergiert [mm]\red{\summe_{n=1}^{\infty} a_n}[/mm] absolut, so
> konvergiert auch [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \wurzel{|a_n a_{n+1}|}[/mm]
> und [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{|a_n a_{n+1}|}{|a_n|+|a_{n+1}|}[/mm]
Unter dieser Voraussetzung folgt die Konvergenz von [mm] $\sum_{n=1}\sqrt{|a_n a_{n+1}|}$ [/mm] (wieder) mittels Cauchy-Schwarzscher Ungleichung für den [mm] $\IR^N$:
[/mm]
[mm]\sum_{n=1}^N \sqrt{|a_n a_{n+1}|}=\sum_{n=1}^N\sqrt{|a_n|}\cdot\sqrt{|a_{n+1}|}\;\red{\leq}\; \sqrt{\sum_{n=1}^N \sqrt{|a_n|}^2}\cdot\sqrt{\sum_{n=1}^N\sqrt{|a_{n+1}|}^2}\leq \sqrt{\sum_{n=1}^\infty |a_n|}\cdot\sqrt{\sum_{n=1}^\infty |a_{n+1}|}<\infty[/mm]
Zum Beweis der Konvergenz von [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{|a_n a_{n+1}|}{|a_n|+|a_{n+1}|}[/mm] verwendest Du einfach, dass für das harmonische Mittel [mm] $\frac{2xy}{x+y}$ [/mm] und das geometrische Mittel [mm] $\sqrt{xy}$ [/mm] für [mm] $x,y\geq [/mm] 0$ die Ungleichung [mm] $\frac{2xy}{x+y}\leq \sqrt{xy}$ [/mm] gilt. Angewandt auf dieses Problem ergibt sich also: [mm] $\frac{|a_n a_{n+1}|}{|a_n|+|a_{n+1}|}\leq \sqrt{|a_n a_{n+1}|}$.
[/mm]
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