Konvergenz von unendl. reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Untersuchen Sie die Reihen [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{4}} [/mm] und [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm] auf Konvergenz. |
Ich habe probiert es über majoranten (kann ich nicht zeigen das z.b. [mm] \bruch{1}{n^{2}} [/mm] odeer [mm] \bruch{1}{n^{3}} [/mm] konvergent ist ... klappt daher nicht.... mir wurde auch gesagt... dass die anderen vergleichskriterien nicht funktionieren... außer integral aber das hatten wir noch nicht :( und über partialsummen, habe ich leider nicht verstanden.
könnte mir da jemand weiterhelfen?...wäre echt super da die ganze serie an übungsaufgaben nicht so doll ist....(das ist sogar noch die einfachste aufgabe)
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Hallo Algebra_lover,
> Untersuchen Sie die Reihen [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{4}}[/mm]
> und [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel{n}}[/mm] auf
> Konvergenz.
> Ich habe probiert es über majoranten (kann ich nicht
> zeigen das z.b. [mm]\bruch{1}{n^{2}}[/mm] odeer [mm]\bruch{1}{n^{3}}[/mm]
> konvergent ist ... klappt daher nicht.... mir wurde auch
> gesagt... dass die anderen vergleichskriterien nicht
> funktionieren... außer integral aber das hatten wir noch
> nicht :( und über partialsummen, habe ich leider nicht
> verstanden.
> könnte mir da jemand weiterhelfen?...wäre echt super da
> die ganze serie an übungsaufgaben nicht so doll ist....(das
> ist sogar noch die einfachste aufgabe)
Bei der ersten Reihe ist die Konvergenz mit dem Cauchy'schen Verdichtungskriterium schnell gezeigt, siehe zB. ![[]](/images/popup.gif) hier
Damit bekommst du ratz-fatz eine (absolut konvergente) geometrische Reihe als Verdichtungsreihe
Bei der anderen hilft das Vergleichskriterium, die Reihe ist ja divergent, welche divergenten Reihen kennst du so?
Hmm, natürlich die harmonische Reihe, versuche also so abzuschätzen, dass du mit der harmonsichen Reihe eine divergente Minorante bekommst
LG
schachuzipus
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danke für die schnelle antwort..
mein problem ist ,dass ich das Cauchy'sche Verdichtungskriterium noch nicht behandelt habe. Deshalb meine frage : gibt es da noch andere möglichkeiten zur lösung? oder wie funktioniert das Cauchy'sche Verdichtungskriterium?
Mein Problem ist ,dass ich nicht weiß wie in meinem fall, dass T laut wikipedia aussehen müsste.
Außerdem müsste ich theoretisch das Cauchy'sche Verdichtungskriterium beweisen, weil wir dieses in keiner Vorlesung behandelt oder bewiesen haben. Was mich wieder zu meiner ersten Frage bringt.
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Hallo nochmal,
> danke für die schnelle antwort..
> mein problem ist ,dass ich das Cauchy'sche
> Verdichtungskriterium noch nicht behandelt habe. Deshalb
> meine frage : gibt es da noch andere möglichkeiten zur
> lösung? oder wie funktioniert das Cauchy'sche
> Verdichtungskriterium?
> Mein Problem ist ,dass ich nicht weiß wie in meinem fall,
> dass T laut wikipedia aussehen müsste.
Die Verdichtungsreihe zu deiner wäre [mm] $\sum\limits_{k=0}^{\infty}2^k\cdot{}\frac{1}{\left(2^k\right)^4}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2^3}\right)^k=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{8}\right)^k$
[/mm]
Also eine schöne geometrische Reihe
> Außerdem müsste ich theoretisch das Cauchy'sche
> Verdichtungskriterium beweisen, weil wir dieses in keiner
> Vorlesung behandelt oder bewiesen haben. Was mich wieder zu
> meiner ersten Frage bringt.
Es bleibt ja dann nur das Vergleichskriterium, habt ihr denn die Konvergenz der Reihe [mm] $\summe\frac{1}{n^2}$ [/mm] schon gezeigt in der VL? Dann könntest du selbige als konvergente Majorante benutzen.
Es ist ja [mm] $n^4>n^2$, [/mm] also [mm] $\frac{1}{n^4}<\frac{1}{n^2}$
[/mm]
Aber das hängt wie gesagt von den bereits bekannten Majoranten ab ...
Das kannst aber nur du wissen 
LG
schachuzipus
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vielen dank für deine zeit und ausführliche antwort :) 1/n² haben wir in der vorlesung gezeigt bekommen, habe gerade nochmal nachgesehen :)
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