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Hallo,
es geht um ein bestimmtes Detail der Definition. Wir haben das definiert als [mm] $A_1 \subset A_2 \subset A_3 \subset [/mm] ... [mm] A_n [/mm] und [mm] \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i [/mm] = A. (Analog für die Stetigkeit von oben)
Ich frage mich, warum man im letzten Schritt die Vereinigung benutzt. Da die Teilmengen der Vereinigung alle selbst in Teilmengenbeziehung stehen, hängt die gesamte Vereinigung letztlich doch nur von der "zuletzt hinzugefügten" Menge ab. Man müsste das also doch auch schreiben können als "die äußerste Menge konvergiert gegen A", ich weiß jetzt nicht, ob [mm] \limes_{i\rightarrow\infty} A_i [/mm] = A dazu die richtige Schreibweise wäre und die obige Definition ist mir auch klar. Ich finde nur den Umweg über die Vereinigung leicht umständlich/verwirrend. Warum macht man das also?
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Hallo,
> es geht um ein bestimmtes Detail der Definition. Wir haben
> das definiert als [mm]$A_1 \subset A_2 \subset A_3 \subset[/mm] ...
> [mm]A_n[/mm] und [mm]\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i[/mm] = A. (Analog für die Stetigkeit von oben)
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> Ich frage mich, warum man im letzten Schritt die
> Vereinigung benutzt. Da die Teilmengen der Vereinigung alle
> selbst in Teilmengenbeziehung stehen, hängt die gesamte
> Vereinigung letztlich doch nur von der "zuletzt
> hinzugefügten" Menge ab.
Wenn Du genau hinschaust steht dort
[mm] \bigcup_{i=1}^{\blue{\infty}} A_i,
[/mm]
es werden die Mengen [mm] (A_i),i\in\IN [/mm] vereinigt.
Da gibt es kein "letztes Element".
> Man müsste das also doch auch
> schreiben können als "die äußerste Menge konvergiert
> gegen A", ich weiß jetzt nicht, ob
> [mm]\limes_{i\rightarrow\infty} A_i[/mm] = A dazu die richtige
> Schreibweise wäre
Ich würde eher meinen, diese Schreibweise ist unüblich.
> und die obige Definition ist mir auch
> klar. Ich finde nur den Umweg über die Vereinigung leicht
> umständlich/verwirrend. Warum macht man das also?
Ich würde nicht behaupten, dass das ein Umweg ist.
LG
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Ja, ich bin nicht gut darin, mathematisch gestochen scharf aufzuschreiben, was ich meine ;)
Ich fand es nur verwirrend, dass man hier eine Vereinigung benutzt, obwohl das nächstgrößere Element der Mengenfolge alle anderen umfasst, die Vereinigung also irgendwo redundant ist.
Falsch ist der Gedankengang doch nicht oder? Scheint mehr ein Notationsproblem zu sein ;)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:56 Mi 07.12.2011 | | Autor: | fred97 |
Schreib doch mal [mm] A_n \le A_{n+1} [/mm] statt A_ [mm] n\subset A_{n+1}.
[/mm]
Was ist dann die "kleinste" Menge B mit:
[mm] A_n \le [/mm] B für jedes n
?
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:07 Mi 07.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> es geht um ein bestimmtes Detail der Definition. Wir haben
> das definiert als [mm]$A_1 \subset A_2 \subset A_3 \subset[/mm] ...
> [mm]A_n[/mm] und [mm]\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i[/mm] = A. (Analog für die
> Stetigkeit von oben)
>
> Ich frage mich, warum man im letzten Schritt die
> Vereinigung benutzt. Da die Teilmengen der Vereinigung alle
> selbst in Teilmengenbeziehung stehen, hängt die gesamte
> Vereinigung letztlich doch nur von der "zuletzt
> hinzugefügten" Menge ab. Man müsste das also doch auch
> schreiben können als "die äußerste Menge konvergiert
> gegen A", ich weiß jetzt nicht, ob
> [mm]\limes_{i\rightarrow\infty} A_i[/mm] = A dazu die richtige
> Schreibweise wäre und die obige Definition ist mir auch
> klar. Ich finde nur den Umweg über die Vereinigung leicht
> umständlich/verwirrend. Warum macht man das also?
weil man (abzählbar) unendlich viele Mengen haben kann mit der Eigenschaft, dass es immer eine geben wird, die "echt mehr" enthält als die 'vorangegangene Menge' (ich gehe davon aus, dass ihr [mm] $\subset$ [/mm] im Sinne von [mm] $\subseteq$ [/mm] benutzt - und zu unten: bei mir ist $0 [mm] \notin \IN$). [/mm] Natürlich gilt auch (mit [mm] $A_1 \subset A_2 \subset A_3 \subset \ldots$):
[/mm]
[mm] $$\bigcup_{i=1}^\infty A_i=A_N\,,$$
[/mm]
wenn [mm] $A_{N+k}=A_N$ [/mm] für alle $k [mm] \in \IN_0\,.$
[/mm]
Aber betrachte mal etwa
[mm] $$A_n:=\IN_{\le n}:=\{k \in \IN \text{ mit }k \le n\}=\{1,2,\ldots,n\}\,.$$
[/mm]
Hier ist
[mm] $$A:=\bigcup_{i=1}^\infty A_i=\IN\,.$$
[/mm]
Und wie willst Du die "äußerste Menge" [mm] $A\,$ [/mm] nun anders mithilfe der [mm] $A_i$ [/mm] beschreiben?
Gruß,
Marcel
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