Konvergenz von x nachweisen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:59 Di 09.11.2010 | | Autor: | Kirschty |
| Aufgabe 1 | Aufgabe 1
Es sei x $ [mm] \in [/mm] $ [0,1] gegeben. Zeigen Sie, dass es eine Folge $ [mm] (a_n) [/mm] $ gibt, so dass
(1) für alle $ [mm] n\in \IN [/mm] $ ist $ [mm] a_n\in [/mm] $ {0,...,9},
(2) die Reihe $ [mm] \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{10^n} [/mm] $ konvergiert gegen x.
(Hinweis: Überlegen Sie sich zuerst, wie man solch eine Folge $ [mm] a_1, a_2, a_3, [/mm] $ ... für ein gegebenes x definieren kann. Dann zeigen Sie, dass die Reihe die gewünschte Eigenschaft hat. |
| Aufgabe 2 | Aufgabe 2
Ist für ein gegebenes x die Folge $ [mm] (a_n) [/mm] $ eindeutig bestimmt? Es reicht, eine kurze Begründung zu geben. |
Ich habe ein paar Probleme bei der Beweisführung dieser Aufgabe.
Aufgabe 1 (1) habe ich folgendermaßen probiert:
Ich habe Beispiele gegeben:
Sei mein an = 9 so kann man die obere Grenze der reihe bestimmen. Es kann zwischen dem Intervall 0 und 1 liegen laut der Aufgabenstellung. jedoch müsste ich für mein erstes n 0 einsetzen, sonst wäre mein Ergebnis nicht mehr im Intervall:
[mm] 0/10^0 [/mm] + [mm] 9/10^1 [/mm] + [mm] 9/10^2 [/mm] + ... + [mm] 9/10^9 [/mm] = 0,99.... wäre also kleiner als 1.
Fage: darf ich bei meinem ersten Summanden die 0 wählen?
Analog dazu könnte man dann auch die untere Grenze anhand de Beispiels 1 ausrechnen.
Ist das, dass was man hier machen soll?
Nun zu Aufgabe 1 (2) ich habe mir überlegt, dass die Reihe gegen 1 konvergiert, also wäre mein x= 1.
aber ich weiß nicht wie ich das ganze zeigen soll, also beweisen soll
Bei Aufgabe 2 habe ich mir überlegt:
wenn ich ein bestimmtes x habe, zb. 0,23 dann kann ich dies folgendermaßen schreiben:
[mm] 0/10^0 [/mm] + [mm] 2/10^1 +3/10^2 [/mm] + [mm] 0/10^3 [/mm] + .. + [mm] 0/10^9
[/mm]
darf ich das? denn ich glaube dass ich da irgendeinen Denkfehler habe und irgendwas nicht berücksichtigt habe.
Bitte bitte helft mir. ich muss die Aufgaben bald abgeben.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Aufgabe 1
> Es sei x [mm]\in[/mm] [0,1] gegeben. Zeigen Sie, dass es eine Folge
> [mm](a_n)[/mm] gibt, so dass
> (1) für alle [mm]n\in \IN[/mm] ist [mm]a_n\in[/mm] {0,...,9},
> (2) die Reihe [mm]\sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{10^n}[/mm]
> konvergiert gegen x.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich glaube, du hast die Aufgabe nicht richtig verstanden.
es geht darum: man wählt eine beliebige Zahl x aus dem Intervall [0,1].
Du sollst nun eine Folge sagen, deren Glieder nur der Menge [mm] \{0,1,...,9\} [/mm] entstammen, und für welche die Reihe $ [mm] \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{10^n} [/mm] $ dann gegen das vorgegebene x konvergiert.
Fällt Dir für x=0.1234 eine solche Folge ein,
eine für 3/8, 1/7 oder [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2}?
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 Di 09.11.2010 | | Autor: | Kirschty |
Hallo Angela,
schon mal danke für deine Hilfe.
also zum beispiel bei 3/8 sieht es so aus:
[mm] 0/10^0 [/mm] + [mm] 3/10^1 [/mm] + [mm] 7/10^2 [/mm] + [mm] 5/10^3 [/mm] + [mm] 0/10^4 [/mm] + ... + [mm] 0/10^9
[/mm]
aber ich kann das irgendwie nicht verallgemeinern. ich habe heute die übungsleiterin noch mal gefragt und sie meinte man uns es allgemein für x zeigen, eventuell mit dem intervallschachtelungsprinzip. nur das verstehe ich überhaupt nicht
viele grüße
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> Hallo Angela,
> schon mal danke für deine Hilfe.
> also zum beispiel bei 3/8 sieht es so aus:
> [mm]0/10^0[/mm] + [mm]3/10^1[/mm] + [mm]7/10^2[/mm] + [mm]5/10^3[/mm] + [mm]0/10^4[/mm] + ... + [mm]0/10^9[/mm][mm] \rd{+...}
[/mm]
Hallo,
ich könnte mir gut vorstellen, daß Ihr das, was Du hier tun sollst, schon in der Vorlesung getan habt, und zwar nicht für die Basis 10 sondern allgemein für die Basis [mm] b\ge [/mm] 2.
Falls nicht, schau mal in der Literatur nach "b-adische Entwicklung" oder "g-adische Entwicklung". Man findet das im Dunstkreis des Vollständigkeitsaxioms/Cauchyfolgen.
Studiere das erstmal gut. Daran wirst Du Dich entlanghangeln können.
Deine Lösungsversuche kannst Du dann natürlich gern hier posten.
Gruß v. Angela
Nachtrag: die Lösung zu Aufgabe 2 kennt "man" aus der Mittelstufe.
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