Konvergenz zweier Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Ich bin gerade dabei, meine Facharbeit in Bayern zu verfassen, 13. Klasse Mathe-LK. Es geht um die Theorie von Zufallsgeneratoren. Zur Prüfung einer Zufallsfolge eignet sich ein Serientest. Ich möchte diesen Test teilweise durchführen und brauche dazu den Erwartungswert und die Varianz einer bestimmten Zufallsgröße. Sie nimmt die Werte 1,2,3,4...n (n->unendlich) an (Ganze Zahlen größer Null). Die Wahrscheinlichkeiten sind jeweils [mm] (0,5^n) [/mm] (n entspricht dem Wert).
Der Erwartungswert lässt sich also durch folgende Summe darstellen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{n}(n*0,5^n)
[/mm]
Ich habe durch numerische Approximation (ausprobieren) rausgefunden, dass diese Reihe gegen 2 konvergiert. Ich suche jetzt einen für mich verständlichen analytischen Beweis dafür, dass das so ist.
Selbes Problem habe ich mit der Varianz:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{n}(n-2)^2*0,5^n
[/mm]
Auch hier konvergiert die Reihe gegen 2.
Bin für jede helfende Antwort dankbar!
Lieben Grüß, Max
|
|
| |
|
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo!
> Ich bin gerade dabei, meine Facharbeit in Bayern zu
> verfassen, 13. Klasse Mathe-LK. Es geht um die Theorie von
> Zufallsgeneratoren. Zur Prüfung einer Zufallsfolge eignet
> sich ein Serientest. Ich möchte diesen Test teilweise
> durchführen und brauche dazu den Erwartungswert und die
> Varianz einer bestimmten Zufallsgröße. Sie nimmt die
> Werte 1,2,3,4...n (n->unendlich) an (Ganze Zahlen größer
> Null). Die Wahrscheinlichkeiten sind jeweils [mm](0,5^n)[/mm] (n
> entspricht dem Wert).
> Der Erwartungswert lässt sich also durch folgende Summe
> darstellen:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{n}(n*0,5^n)[/mm]
> Ich habe durch numerische Approximation (ausprobieren)
> rausgefunden, dass diese Reihe gegen 2 konvergiert. Ich
> suche jetzt einen für mich verständlichen analytischen
> Beweis dafür, dass das so ist.
> Selbes Problem habe ich mit der Varianz:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{n}(n-2)^2*0,5^n[/mm]
> Auch hier konvergiert die Reihe gegen 2.
> Bin für jede helfende Antwort dankbar!
> Lieben Grüß, Max
hallo!
erstmal wärs nicht verkehrt kenntnisse über potenzreihen und geometrische reihen zu besitzen, nun weiss ich aber nicht wie das bei dir aussieht.
http://uni-wiki.mayastudios.net/index.php/Potenzreihe#Ableitung
da kannst du u.a. auch mal reinschauen, ganz am ende ist dort auch ein beispiel!
also ziel ist es, die vorliegende potenzreihe geschickt umzuformen, um die gestalt einer geometrischen reihe zu erhalten, dessen grenzwert direkt berechenbar ist.
ich denke, ein wenig einlesen ist besser als direkt die lösung präsentiert zu bekommen.
gruß tee
|
|
|
| |
|
Danke für die Antworten, Jungs.
Das mit dem Laufparameter stimmt natürlich, aber ich denke es ist klar, was gemeint ist.
Die Sache mit der Wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion ist mir etwas ungeheuer, denn ich werde aus dem Artikel von Wikipedia nicht schlau. Verstehe das ganze nicht ohne Erläuterung und hatte auch noch nie etwas mit "Momenten" zu tun.
Die Sache mit den Potenzreihen habe ich mir auch durchgelesen:
Soweit ich das verstanden habe, geht es darum, die Reihe als erste Ableitung ihrer Integralfunktion aufzufassen, damit sich der störende Faktor rauskürzt und man das Lösungskonzept der Geometrischen Reihe Anwenden kann. Anschließend wird ein summenfreier Ausdruck abgeleitet und man hat eine allgemeine Lösung. Hört sich sehr clever an, aber irgendwie krieg ich das für mein Problem nicht hin!
Hab mir das jetzt so vorgestellt:
Meine Reihe [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{n}i*0,5^i
[/mm]
kann durch [mm] (\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{n}i*\bruch{1}{i+1}*x^{i+1})' [/mm] dargestellt werden.
Leider kürzt sich der Faktor nicht weg, es bleibt der Ausdruck [mm] \bruch{i}{i+1} [/mm] in der Summe stehen... Ich kann den "Trick" mit der Geometrischen Reihe noch nicht anwenden. Was habe ich falsch gemacht / wie geht es richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:06 Mi 20.01.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Also, wichtig für dich ist:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=0}^{n}q^i=\summe_{i=0}^{\infty}q^i=\bruch{1}{1-q} [/mm] für |q|<1, was bei dir ja der Fall ist. Der Beweis dazu wäre auch recht einfach, wenn du ihn brauchst.
Insbesondere kannst du diese Gleichung auf beiden Seiten nach q ableiten und den Exponenten in der unendlichen Summe (Reihe) verändern, indem du einfach beide Seiten mit q multiplizierst/dividierst. Diese ganzen Sachen gelten für |q|<1.
z.B.:
[mm] \summe_{i=0}^{\infty}q^i=\bruch{1}{1-q}
[/mm]
[mm] \gdw q*\summe_{i=0}^{\infty}q^i=\summe_{i=0}^{\infty}q^{i+1}=\bruch{q}{1-q}
[/mm]
Mit diesen 2 Sachen kann man deine 2 Grenzwerte berechnen. Der 1. Grenzwert ist recht leicht zu bestimmen, beim 2. muss man schon etwas mehr mit Umformungen jonglieren.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
|
|
|
| |
|
Hallo!
Danke für die Antwort. So wie ich das verstanden habe, gehst du von der allgemeinen Lösung der geometrischen Reihe aus. Man kann beide Seiten (also die Reihe und die Lösung) beliebig erweitern/kürzen. Ziel der Sache ist es, die Seite mit der Summe in die Form meiner Reihe zu pressen und dann die Lösung abzulesen. Verstehe ich das richtig?
Wenn ja, dann weiß ich nicht wie das gehen soll. Ich kann den Exponenten durch Multiplikation/Division mit q vergrößern/verkleinern, aber den will ich ja gar nicht ändern. Habe doch bloß diesen störenden Vorfaktor i in der Summe. Wie kriege ich den weg?
|
|
|
| |
|
> Hallo!
> Danke für die Antwort. So wie ich das verstanden habe,
> gehst du von der allgemeinen Lösung der geometrischen
> Reihe aus. Man kann beide Seiten (also die Reihe und die
> Lösung) beliebig erweitern/kürzen. Ziel der Sache ist es,
> die Seite mit der Summe in die Form meiner Reihe zu pressen
> und dann die Lösung abzulesen. Verstehe ich das richtig?
> Wenn ja, dann weiß ich nicht wie das gehen soll. Ich kann
> den Exponenten durch Multiplikation/Division mit q
> vergrößern/verkleinern, aber den will ich ja gar nicht
> ändern. Habe doch bloß diesen störenden Vorfaktor i in
> der Summe. Wie kriege ich den weg?
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}i\cdot{}0,5^i=0.5*\summe_{i=1}^{\infty}i\cdot{}0,5^{i-1} [/mm]
hier habe ich einen faktor rausgezogen, dadurch wird der exponent um 1 kleiner.. wenn du nun integrierst, fällt das i weg und du bist der geometrischen reihe ein stück näher!
gruß tee
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:27 Mi 20.01.2010 | | Autor: | Teufel |
Du kannst es so machen wie fenchteltee schrieb. Ich meinte das aber eigentlich andersrum, also dass du [mm] \summe_{i=0}^{\infty}q^i=\bruch{1}{1-q}
[/mm]
Ableitest und schon hast du links in der Reihe ein i als Vorfaktor, so wie bei deiner Aufgabe. Aber dann ist der Exponent falsch (i-1) und du kannst ihn erhöhen, indem du beide Seiten mit i multiplizierst.
Aber ist ja egal wie rum du das machst. Und mit der 2. Reihe geht es auch so, nur dass du dort mehr Schritte machen musst.
Teufel
|
|
|
| |
|
Hallo!
Jetzt habe ich das ganze gerallt. Hab die Umformung hingekriegt, für meine erste Reihe ergibt sich: [mm] \bruch{q}{(1-q)^2}
[/mm]
Die zweite Reihe bekomme ich jedoch noch nicht hin. Der Vorfaktor kommt ja quadratisch vor und lässt sich deswegen irgendwie nicht so einfach beseitigen. Könnte mir jemand erklären, wie ich Umformen muss, damit ich auch den Grenzwert der zweiten Reihe bestimmen kann?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:01 Mi 20.01.2010 | | Autor: | Teufel |
In Worten:
q² aus der Summe ziehen
durch q² teilen
ableiten
mit q multiplizieren
q links wieder in die Summe ziehen
nochmal ableiten
mit q³ multiplizieren
einsetzen und aufpassen, dass du den 1. Summanden der Summe dann wieder abziehst, da diese Summe bei 0 startet, deine aber erst bei 1.
Teufel
|
|
|
| |
|
Hallo!
Ich habe genau das gemacht, in beide Richtungen.
Mein Ergebnis für den Grenzwert der Folge lautet:
[mm] -8*q^6+25*q^7-18*q^8
[/mm]
für q = 0,5 wird dieser Grenzwert 0. Die Varianz müsste jedoch 2 betragen.
Liegt ein Fehler vor? Wenn ja, welcher?
PS: Das Subtrahieren des ersten Gliedes kann ich mir doch eigentlich sparen, da das erste Glied sowieso 0 ist. (Die beiden Reihen mit i=0 oder i=1 als Startparameter sind gleich)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:07 Do 21.01.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Also hier: $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{i=1}^{n}(i-2)^2\cdot{}0,5^i [/mm] $
Ist es schon wichtig, ob i bei 1 startet oder bei 0.
Und ich bin da auf einen recht hässlichen Bruch gekommen und habe auch letztendlich 2 erhalten. Kannst ja mal vorrechnen, was du gemacht hast!
Teufel
|
|
|
|
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
"wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion"
Sonst passt das mit dem Laufindex nicht, dieser "kleine Fehler" passiert dir auch bei der zweiten Reihe.
