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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:41 Di 07.04.2009 | | Autor: | daria |
Es geht um folgendes Lemma:
Seien [mm] $Z_1,Z_2,...$ [/mm] ZV'en.
Wenn für alle [mm] $\epsilon [/mm] >0$
[mm] $\sum_{n=1}^{\infty}P[|Z_n| \ge \epsilon [/mm] ] < [mm] \infty$ [/mm] (schnelle stochastische Konvergenz gegen 0), dann folgt:
[mm] $P(\{ \omega | \limes_{n\rightarrow\infty} Z_n(\omega)=0\})=1$(fast [/mm] sichere Konvergenz).
Nun meine Frage:
Ich hatte es so verstanden, dass "fast sichere Konvergenz" stärker ist als "schnelle stochastische Konvergenz". Wie kann denn dann aus etwas schwächerm etwas stärkeres folgen?
Vielen Dank!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:50 Di 07.04.2009 | | Autor: | abakus |
> Es geht um folgendes Lemma:
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> Seien [mm]Z_1,Z_2,...[/mm] ZV'en.
> Wenn für alle [mm]\epsilon >0[/mm]
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty}P[|Z_n| \ge \epsilon ] < \infty[/mm]
> (schnelle stochastische Konvergenz gegen 0), dann folgt:
> [mm]P(\{ \omega | \limes_{n\rightarrow\infty} Z_n(\omega)=0\})=1[/mm](fast
> sichere Konvergenz).
>
>
> Nun meine Frage:
>
> Ich hatte es so verstanden, dass "fast sichere Konvergenz"
> stärker ist als "schnelle stochastische Konvergenz".
Damit kenne ich mich leider nicht aus.
> Wie
> kann denn dann aus etwas schwächerm etwas stärkeres
> folgen?
Hier würde ich rein intuitiv antworten: "...wenn jetzt noch neue zusätzliche Voraussetzungen ins Siel kommen."
Gruß Abakus
>
> Vielen Dank!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:08 Di 07.04.2009 | | Autor: | daria |
In einem Buch habe ich gerade gelesen:
Fast sichere Konvergenz impliziert stochastische Konvergenz, aber nicht umgekehrt.
Das ist doch jetzt eigentlich genau andersrum, oder?
Wie kann das sein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:31 Di 07.04.2009 | | Autor: | Blech |
Hi,
> In einem Buch habe ich gerade gelesen:
>
> Fast sichere Konvergenz impliziert stochastische
> Konvergenz, aber nicht umgekehrt.
>
Richtig.
> Das ist doch jetzt eigentlich genau andersrum, oder?
Nein, Du hast ja "schnelle" stochastische Konvergenz (was auch immer das sein mag; nie davon gehört =)
Dein Lemma folgt mehr oder weniger direkt aus dem Lemma von Borel-Cantelli, zu dem Du leicht Material finden kannst.
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:25 Mi 08.04.2009 | | Autor: | daria |
Entschuldigung das ich nochmal nachfrage, aber ich verstehe es immer noch nicht ganz.
> Fast sichere Konvergenz impliziert stochastische
> Konvergenz, aber nicht umgekehrt.
Das verstehe ich. Wenn das stärkere gilt, dann auch das schwächere.
Jetzt zu meinem Ursprungslemma:
(soweit ich es verstanden habe)
wenn stochastische Konvergenz gilt, dann folgt fast sichere konvergenz.
Das ist doch jetzt genau andersrum als das Lemma aus dem Buch. Oder?
Das kann ja nicht sein. Das würde ja bedeuten, aus dem schwächeren folgt das stärkere. Das kann ja nicht sein. Oder habe ich hier irgendwas übersehen?
Ja bewiesen ist das mit Borel-Cantelli, das habe ich auch verstanden.
Oder habe ich irgendwo einen Denkfehler drin und denke ganz verkehrt..
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:30 Mi 08.04.2009 | | Autor: | Blech |
Hi,
> wenn stochastische Konvergenz gilt, dann folgt fast sichere
> konvergenz.
>
> Das ist doch jetzt genau andersrum als das Lemma aus dem
> Buch. Oder?
Ich wiederhole mich gerne:
Nein, Du hast ja "schnelle" stochastische Konvergenz (was auch immer das sein mag; nie davon gehört =)
Wenn Du Dir Dein Lemma anschaust, dann siehst Du doch, daß die Voraussetzung, d.h. die Summe ist kleiner unendlich, viel stärker ist als stochastische Konvergenz.
Das ist jetzt die dritte Antwort auf Deine Frage, die im Prinzip genau dasselbe sagt.
> Das kann ja nicht sein. Das würde ja bedeuten, aus dem
> schwächeren folgt das stärkere. Das kann ja nicht sein.
> Oder habe ich hier irgendwas übersehen?
Ja, daß mehr als stochastische Konvergenz gefordert wird. Das Lemma spricht ja auch nicht von stochastischer Konvergenz, sondern wie schon erwähnt von schneller stochastischer Konvergenz. Hast Du Dir die Definition von stochastischer Konvergenz und Dein Lemma überhaupt mal angeschaut?
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:57 Mi 08.04.2009 | | Autor: | daria |
okay, jetzt hab ich verstanden, wo mein Denkfehler lag!
Dankeschön, für die Geduld!
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