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Konvergenzbereich: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:55 Mi 05.12.2018
Autor: Schobbi

Aufgabe
Für welche x [mm] \in \IR [/mm] konvergiert die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(1+x)^k}{k*2^k}? [/mm]
Geben Sie den maximalen Konvergenzbereich an!

Moin Moin, vielleicht könnt ihr mir hier weiterhelfen.

Ich habe die obige Reihe erstmal in die Form [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_{k}(x-x_{0})^k [/mm] geschrieben. Also

[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(1+x)^k}{k*2^k}=\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k*2^k}(x+1)^k [/mm]
Hier sieht man dass er Entwicklungspunkt -1 sein muss, den ich ja später für meinen Konvergenzbereich brauche.

Jetzt muss ich also die Konvergenz von [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k*2^k} [/mm] zeigen. Mit dem Majorantenkriterium habt ich gezeigt, dass die Reihe konvergiert. Denn [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{1}{2})^k [/mm] kann ich als Majorante betrachten und die (geometrisch) Reihe konvergiert ja gg. 2. Aber was mache ich mit dem [mm] \bruch{1}{k}? [/mm] Bzw. wie kann ich da in Kombination meinen Grenzwert bestimmen?

Wäre lieb wenn ihr mir dabei helfen könntet. DANKE schon mal vorab! LG

        
Bezug
Konvergenzbereich: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:51 Mi 05.12.2018
Autor: fred97


> Für welche x [mm]\in \IR[/mm] konvergiert die Reihe
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(1+x)^k}{k*2^k}?[/mm]
>  Geben Sie den maximalen Konvergenzbereich an!
>  Moin Moin, vielleicht könnt ihr mir hier weiterhelfen.
>  
> Ich habe die obige Reihe erstmal in die Form
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}a_{k}(x-x_{0})^k[/mm] geschrieben. Also
>  
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(1+x)^k}{k*2^k}=\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k*2^k}(x+1)^k[/mm]
>  Hier sieht man dass er Entwicklungspunkt -1 sein muss, den
> ich ja später für meinen Konvergenzbereich brauche.

Ja.


>  
> Jetzt muss ich also die Konvergenz von
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k*2^k}[/mm] zeigen.

Warum denn das ?

> Mit dem
> Majorantenkriterium habt ich gezeigt, dass die Reihe
> konvergiert. Denn [mm]\summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{1}{2})^k[/mm]
> kann ich als Majorante betrachten und die (geometrisch)
> Reihe konvergiert ja gg. 2. Aber was mache ich mit dem
> [mm]\bruch{1}{k}?[/mm] Bzw. wie kann ich da in Kombination meinen
> Grenzwert bestimmen?


Diese Aufgabe stinkt geradezu nach dem Wurzelkriterium ! Sei (bei festem x)

   [mm] $a_k:=\bruch{(1+x)^k}{k\cdot{}2^k} [/mm] $

Dann ist [mm] $|a_k|^{1/k}=\frac{|1+x|}{2 k^{1/k}} \to \frac{|1+x|}{2 }$ [/mm] für $k [mm] \to \infty$. [/mm]

Für $|1+x|<2$  haben wir also absolute Konvergenz und für $|1+x|>2$ Divergenz.

Jetzt musst Du noch die x untersuchen für die $|1+x|=2$ ist.


>  
> Wäre lieb wenn ihr mir dabei helfen könntet. DANKE schon
> mal vorab! LG


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