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| Aufgabe | | Bestimmen Sie den Konvergenzbereich der Potenzreihe [mm] 1+\bruch{x}{5*2}+\bruch{x^2}{5^2*3}+\bruch{x^3}{5^3*4}+... [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Die Reihe die sich hier versteckt konnte ich ausfindig machen [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x^n}{5^n*(n+1)}[/mm]
Ich habe als erstes den Konvergenzradius r=5 bestimmt. Wenn x=-5 ist kann ich mit Hilfe des Leipnitzkriterium beweisen, dass die Reihe in dem Punkt konvergent ist, aber mein Problem ist, was mache ich mit x=5.
Sowohl Majorantenkriterium als auch Minorantenkriterium versagen. Und beim Quotientenkriterium bin ich mir nicht ganz sicher, wie ich damit umgehen muss. Wenn ich x=5 einsetzte habe ich da ja stehen [mm] \bruch{5^n}{5^n*(n+1)}[/mm] ich kann also [mm] {5^n}[/mm] rauskürzen. Darf ich das? Denn dann wird das Kriterium 1 und versagt, wenn ich aber [mm] 5^n[/mm] nicht rauskürze kommt [mm] \infty [/mm] raus. Damit wäre die Reihe an der Stelle x=5 divergent.
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Hallo maschbaustud,
> Bestimmen Sie den Konvergenzbereich der Potenzreihe
> [mm]1+\bruch{x}{5*2}+\bruch{x^2}{5^2*3}+\bruch{x^3}{5^3*4}+...[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Die Reihe die sich hier versteckt konnte ich ausfindig
> machen [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x^n}{5^n*(n+1)}[/mm]
> Ich habe als erstes den Konvergenzradius r=5 bestimmt.
> Wenn x=-5 ist kann ich mit Hilfe des Leipnitzkriterium
oh, der gute Meister ![[]](/images/popup.gif) Leibniz würde sich im Grabe herumdrehen ...
> beweisen, dass die Reihe in dem Punkt konvergent ist, ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") aber
> mein Problem ist, was mache ich mit x=5.
> Sowohl Majorantenkriterium als auch Minorantenkriterium
> versagen. Und beim Quotientenkriterium bin ich mir nicht
> ganz sicher, wie ich damit umgehen muss. Wenn ich x=5
> einsetzte habe ich da ja stehen [mm]\bruch{5^n}{5^n*(n+1)}[/mm] ich
> kann also [mm]{5^n}[/mm] rauskürzen. Darf ich das?
Oh ja, das ist ja der Clou
> Denn dann wird
> das Kriterium 1 und versagt, wenn ich aber [mm]5^n[/mm] nicht
> rauskürze kommt [mm]\infty[/mm] raus. Damit wäre die Reihe an der
> Stelle x=5 divergent.
Das ist sie, für $x=5$ hast du die Reihe
[mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{5^n}{5^n\cdot{}(n+1)}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+1}$
[/mm]
Und die sieht doch schon verdammt nach ner harmonischen Reihe aus, die ja eine stadtbekannte divergente Reihe ist.
Schreibe noch [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+1}=1+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1}$ [/mm] und schätze mal mit dem Vergleichskriterium (Majoranten-/Minorantenkriterium) gegen eine Variante der harmonischen Reihe ab als divergenter Minorante.
Du musst deine Reihe also verkleinern.
Dazu kannst du den Zähler verkleinern oder den Nenner vergrößern ...
Klappt's damit?
LG
schachuzipus
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Danke schachuzipus!
Es hat geklappt. Ich hatte nicht bedacht, dass meine Reihe ja bei Null anfängt.
Hätte ich auch wenn die Reihe bei Eins angefangen hätte die Divergenz oder Konvergenz bestimmen können? Kann das erste Glied überhaupt entscheidend sein für Konvergenz und Divergenz?
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Hallo nochmal,
> Danke schachuzipus!
>
> Es hat geklappt. Ich hatte nicht bedacht, dass meine Reihe
> ja bei Null anfängt.
Ja, das ist ja auch nur eine kleine Genauigkeit, weil sonst die Abschätzung [mm] $\sum\frac{1}{n+1} [/mm] \ > \ [mm] \sum\frac{1}{2n}$ [/mm] nicht klappt ...
> Hätte ich auch wenn die Reihe bei Eins angefangen hätte
> die Divergenz oder Konvergenz bestimmen können? Kann das
> erste Glied überhaupt entscheidend sein für Konvergenz
> und Divergenz?
Nein, die Hinzunahme oder Wegnahme endlich vieler Summanden ändert am Konvergenzverhalten nix.
Wieso?
Gruß
schachuzipus
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> Hallo nochmal,
>
> > Danke schachuzipus!
> >
> > Es hat geklappt. Ich hatte nicht bedacht, dass meine Reihe
> > ja bei Null anfängt.
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> Ja, das ist ja auch nur eine kleine Genauigkeit, weil sonst
> die Abschätzung [mm]\sum\frac{1}{n+1} \ > \ \sum\frac{1}{2n}[/mm]
> nicht klappt ...
Weil dann genau das hier nicht klappt. Wobei ich das immer mit [mm]\sum\frac{1}{n+1} \ > \ \sum\frac{1}{n}[/mm] mache. In diesem Fall hätte mich deine Formel aber direkt zu dem passende Ergebnis geführt.
Kann ich ein bisschen herumprobieren mit [mm]\sum\frac{1}{n+1} \ > \ \sum\frac{1}{a*n^b}[/mm], solange ich bei [mm] b\le1 [/mm] bleibe?
>
> > Hätte ich auch wenn die Reihe bei Eins angefangen hätte
> > die Divergenz oder Konvergenz bestimmen können? Kann das
> > erste Glied überhaupt entscheidend sein für Konvergenz
> > und Divergenz?
>
> Nein, die Hinzunahme oder Wegnahme endlich vieler Summanden
> ändert am Konvergenzverhalten nix.
Das hätte mich auch sehr gewundert. 
>
> Wieso?
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
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Hallo nochmal,
> Weil dann genau das hier nicht klappt. Wobei ich das immer
> mit [mm]\sum\frac{1}{n+1} \ > \ \sum\frac{1}{n}[/mm] mache.
Das stimmt aber doch nicht, für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] (ohne 0) ist doch $n+1>n$, also [mm] $\frac{1}{n+1}\red{<}\frac{1}{n}$ [/mm] und damit auch [mm] $\sum\frac{1}{n+1}\red{<}\sum\frac{1}{n}$
[/mm]
Und eine divergente Majorante zu finden, hilt dir goar nix
> In
> diesem Fall hätte mich deine Formel aber direkt zu dem
> passende Ergebnis geführt.
> Kann ich ein bisschen herumprobieren mit [mm]\sum\frac{1}{n+1} \ > \ \sum\frac{1}{a*n^b}[/mm],
> solange ich bei [mm]b\le1[/mm] bleibe?
Naja, die Abschätzung muss ja ab einem gewissen [mm] $n_0$ [/mm] für alle weitern [mm] $n\ge n_0$ [/mm] gelten, das wird mit $b<1$ nicht hinhauen, denn da verkleinerst du im Vergleich zu n+1 den Nenner, was den Bruch vergrößert, du willst aber verkleinern (ne Minorante finden)
Für [mm] $b\red{=}1$ [/mm] stimmt das aber, da suche ein $a$ derart, dass [mm] $n+1\frac{1}{a\cdot{}n}$ [/mm] für alle n ab einem gewissen [mm] n_0.
[/mm]
Hier klappte das halt mit $a=2$ und ab [mm] $n_0=1$
[/mm]
> >
> > > Hätte ich auch wenn die Reihe bei Eins angefangen hätte
> > > die Divergenz oder Konvergenz bestimmen können? Kann das
> > > erste Glied überhaupt entscheidend sein für Konvergenz
> > > und Divergenz?
> >
> > Nein, die Hinzunahme oder Wegnahme endlich vieler Summanden
> > ändert am Konvergenzverhalten nix.
> Das hätte mich auch sehr gewundert.
Jo, eine Summe aus endlich vielen Summanden ist halt immer endlich ...
Gruß
schachuzipus
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Ein Hallo zurück, danke dass du dich so um diese Aufgabe kümmerst!!!
> Hallo nochmal,
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> > Weil dann genau das hier nicht klappt. Wobei ich das immer
> > mit [mm]\sum\frac{1}{n+1} \ > \ \sum\frac{1}{n}[/mm] mache.
>
> Das stimmt aber doch nicht, für alle [mm]n\in\IN[/mm] (ohne 0) ist
> doch [mm]n+1>n[/mm], also [mm]\frac{1}{n+1}\red{<}\frac{1}{n}[/mm] und damit
> auch [mm]\sum\frac{1}{n+1}\red{<}\sum\frac{1}{n}[/mm]
Hier war ich leider etwas schnell und habe einfach nur kopiert ohne danach den unwichtigen Teil rauszunehmen, ich wollte nur wissen, ob es falsch/nicht sinnvoll ist, dass ich mit [mm] \sum\frac{1}{n}[/mm] vergleiche, aber das hast du ja am Ende des Textes schon beantwortet.
>
> Und eine divergente Majorante zu finden, hilt dir goar nix
>
Das stimmt natürlich
>
> > In
> > diesem Fall hätte mich deine Formel aber direkt zu dem
> > passende Ergebnis geführt.
>
> > Kann ich ein bisschen herumprobieren mit [mm]\sum\frac{1}{n+1} \ > \ \sum\frac{1}{a*n^b}[/mm],
> > solange ich bei [mm]b\le1[/mm] bleibe?
Auch hier hab ich vergessen zu verallgemeinern. Kann ich, wenn ich das nächste Mal ein solches Problem habe, davon ausgehen, dass [mm] \sum\frac{1}{a*n^b}[/mm] mit [mm]0
>
> Naja, die Abschätzung muss ja ab einem gewissen [mm]n_0[/mm] für
> alle weitern [mm]n\ge n_0[/mm] gelten, das wird mit [mm]b<1[/mm] nicht
> hinhauen, denn da verkleinerst du im Vergleich zu n+1 den
> Nenner, was den Bruch vergrößert, du willst aber
> verkleinern (ne Minorante finden)
>
> Für [mm]b\red{=}1[/mm] stimmt das aber, da suche ein [mm]a[/mm] derart, dass
> [mm]n+1
> [mm]\frac{1}{n+1}>\frac{1}{a\cdot{}n}[/mm] für alle n ab einem
> gewissen [mm]n_0.[/mm]
>
> Hier klappte das halt mit [mm]a=2[/mm] und ab [mm]n_0=1[/mm]
>
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
>
Gruß
Maschbaustud
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Hallo nochmal,
> Hier war ich leider etwas schnell und habe einfach nur
> kopiert ohne danach den unwichtigen Teil rauszunehmen, ich
> wollte nur wissen, ob es falsch/nicht sinnvoll ist, dass
> ich mit [mm]\sum\frac{1}{n}[/mm] vergleiche, aber das hast du ja am
> Ende des Textes schon beantwortet.
> >
> > Und eine divergente Majorante zu finden, hilt dir goar nix
> >
> Das stimmt natürlich
> >
> > > In
> > > diesem Fall hätte mich deine Formel aber direkt zu dem
> > > passende Ergebnis geführt.
> >
> > > Kann ich ein bisschen herumprobieren mit [mm]\sum\frac{1}{n+1} \ > \ \sum\frac{1}{a*n^b}[/mm],
> > > solange ich bei [mm]b\le1[/mm] bleibe?
> Auch hier hab ich vergessen zu verallgemeinern. Kann ich,
> wenn ich das nächste Mal ein solches Problem habe, davon
> ausgehen, dass [mm]\sum\frac{1}{a*n^b}[/mm] mit [mm]0
> divergente Reihe ist oder sollte ich lieber b immer 1
> setzten und nur a verändern?
Nun, ich hoffe ich verstehe die Frage richtig, aber du kannst natürlich gegen jede bekannte Minorante abschätzen, wenn du weißt, dass die Reihen des Typs [mm] $\sum_n\frac{1}{n^s}$ [/mm] für [mm] $s\le [/mm] 1$ divergieren, dann kannst du natürlich gegen diese Reihen abschätzen.
Bedenke, dass für [mm] $s\le [/mm] 1$ gilt [mm] $n^s\le [/mm] n$, also [mm] $\frac{1}{n^s}\ge\frac{1}{n}$
[/mm]
Also auch [mm] $\sum_n\frac{1}{n^s}\ge\sum\frac{1}{n}$
[/mm]
Du kannst also direkt eine (Variante) der harmonischen Reihe, also [mm] $\sum\frac{1}{a\cdot{}n}$ [/mm] als Minorante heranziehen, sie ist die kleinste unter den Reihen dieses Typs
> Gruß
> Maschbaustud
>
LG
schachuzipus
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hallo schachuzipus,
Jetzt hast du mich überzeugt!!! Ich glaube jetzt habe ich begriffen, was ich machen kann und was sinnvoll ist. Danke!
Wünsch dir noch nen schönen Abend!
Maschbaustud
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:27 Di 15.09.2009 | | Autor: | a_la_fin |
Hallo,
es ist natürlich richtig, was hier vorgeschlagen wird, aber man kann doch das Ganze sehr viel einfacher beweisen (also dass die Reihe bei x=5 divergent ist): nämlich, wie vorgeschlagen, mit der harmonischen Reihe.
> und schätze mal mit dem Vergleichskriterium
> (Majoranten-/Minorantenkriterium) gegen eine Variante der
> harmonischen Reihe ab als divergenter Minorante.
>
> Du musst deine Reihe also verkleinern.
Das ist doch garnicht nötig.
Wenn man bei der zu untersuchenden Reihe das erste Glied (1) herauszieht, reicht es ja zu zeigen, dass 1 größer als die Differenz aus den beiden Reihen, die ich zu einer Reihe zusammenziehen kann, da sie ja nun beide bei n=1 beginnen, ist.
Mein Ansatz sieht also so aus:
zu Zeigen: [mm] \summe_{i=0}^{n}\bruch{1}{1+n} \ge \summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{n} \gdw
[/mm]
1 + [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{1+n} \ge \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{n} \gdw
[/mm]
1 [mm] \ge \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{n} [/mm] - [mm] \bruch{1}{1+n} \gdw
[/mm]
1 [mm] \ge \summe_{i=1}^{n} \bruch{1+n-n}{n(n+1)} \gdw
[/mm]
1 [mm] \ge \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{n^{2}+n}
[/mm]
und damit hat man den Beweis schon abgeschlossen, da [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{n^{2}+n} [/mm] für [mm] n\to\infty [/mm] gegen 0,5 konvergiert (oder? da das erste Glied 0,5 ist und die dazugehörige Folge gegen 0 konvergiert)- und der Wert einer Reihe doch gleich ihrem Grenzwert ist.
Korrigiert mich bitte wenn ich mich täusche ^^.
lG
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Also laut meiner Formelsammlung ist der Grenzwert der Reihe zwar 1, aber das macht ja keinen Unterschied. (0,5+0,166667+0,083333+...)
Auf jedenfall ein sehr schöner Ansatz!!! Werde ich mir merken!
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