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Konvergenzbereich Potenzreihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:50 So 15.12.2013
Autor: bavarian16

Aufgabe
Bestimme die Konvergenzbereiche folgender Potenzreihen:

a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (ln(n))^n*x^n [/mm]

b) [mm] \summe_{n=o}^{\infty} e^n*(x-2)^n [/mm]

Meine Lösungsversuch:

a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (ln(n))^n*x^n [/mm]

Ich habe mich mit dem Quotientenkriterium versucht:
[mm] \limes_{n \to \infty}\bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm]
Betragsstriche kann ich weglassen, weil der Ausdruck nur positive Werte annehmen kann.
[mm] \limes_{n \to \infty}\bruch{(ln(n+1))^{n+1}*x^{n+1}}{(ln(n))^n*x^n}= \limes_{n \to \infty}\bruch{(ln(n+1))^{n}*(ln(n+1))^{1}*x^{1}}{(ln(n))^n} [/mm]
Irgendwie bringt mich des aber nicht weiter oder?

b) [mm] \summe_{n=o}^{\infty} e^n*(x-2)^n [/mm]
[mm] \limes_{n \to \infty}\bruch{e^{n+1}*(x-2)^{n+1}}{e^n*(x-2)^n} [/mm]
=  [mm] \limes_{n \to \infty}e^1*(x-2)^1 [/mm]
Also den zweiten Schritt hab ich über die Potenzgesetzte gemacht. Scheint mir aber irgendwie völliger Blödsinn zu sein. Ich hab ja dann gar kein n mehr, das ich gegen [mm] \infty [/mm] streben lassen kann.


        
Bezug
Konvergenzbereich Potenzreihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:54 So 15.12.2013
Autor: DieAcht

Beides schreit nach Wurzelkriterium!

DieAcht

Bezug
                
Bezug
Konvergenzbereich Potenzreihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:32 So 15.12.2013
Autor: bavarian16

Ok neuer Versuch mit dem Wurzelkriterium:

Wurzelkriterium:
[mm] \limes_{n \to \infty}\wurzel[n]{|a_n|} [/mm]

[mm] \limes_{n \to \infty}\wurzel[n]{|(ln(n))^n*x^n|} = \limes_{n \to \infty}\wurzel[n]{(ln(n))^n}*\wurzel[n]{x^n} = \limes_{n \to \infty}ln(n)*x [/mm]

Kann es sein dass mein Konvergenzbereich von x abhängt? Beim Wurzelkriterium muss ich schauen wo hin der Ausdruck strebt.
>1  ->  Divergenz
<1   -> Konvergenz
=1   -> keine Aussage
Nur wie komm ich dann auf den Konvergenzradius? Beim Quotientenkriterium muss ich dann den Kehrwert bilden. Ist das beim Wurzelkriterium auch so?

b) [mm] \limes_{n \to \infty}\wurzel[n]{|e^n*(x-2)^n|} = \limes_{n \to \infty}\wurzel[n]{e^n}*\wurzel[n]{(x-2)^n} = \limes_{n \to \infty}e*(x-2)= \limes_{n \to \infty}ex-2e [/mm]
Nun muss ich  wieder für verschiedene x Werte unterscheiden.
x<1/e +2   -> Konvergenz
x>1/e +2   -> Divergenz



Bezug
                        
Bezug
Konvergenzbereich Potenzreihen: zu Aufgabe a.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:59 So 15.12.2013
Autor: Loddar

Hallo bavarian!


> Wurzelkriterium: [mm]\limes_{n \to \infty}\wurzel[n]{|a_n|}[/mm]

>

> [mm]\limes_{n \to \infty}\wurzel[n]{|(ln(n))^n*x^n|} = \limes_{n \to \infty}\wurzel[n]{(ln(n))^n}*\wurzel[n]{x^n} = \limes_{n \to \infty}ln(n)*x[/mm]

Bei Potenzreihen [mm] $\summe a_n*x^n$ [/mm] "behandelt" man nur die Koeefizientenvorschrift [mm] $a_n$ [/mm] z.B. mit dem Wurzelkriterium.

Also betrachtet man nur [mm] $\left[ \ \ln(n) \ \right]^n$ [/mm] .


> Kann es sein dass mein Konvergenzbereich von x abhängt?
> Beim Wurzelkriterium muss ich schauen wo hin der Ausdruck
> strebt.
> >1 -> Divergenz
> <1 -> Konvergenz
> =1 -> keine Aussage
> Nur wie komm ich dann auf den Konvergenzradius? Beim
> Quotientenkriterium muss ich dann den Kehrwert bilden. Ist
> das beim Wurzelkriterium auch so?

[ok] Ja, siehe []hier.


Gruß
Loddar

Bezug
                                
Bezug
Konvergenzbereich Potenzreihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:28 Mo 16.12.2013
Autor: bavarian16

Aber wenn ich die n-te Wurzel von [mm] (ln(n))^n [/mm] betrachte, heben sich doch wurzel und exponent auf oder?
also muss ich nur ln(n) betrachten.
und da [mm] r=\bruch{1}{\limes_{n \to \infty}ln(n)} [/mm] und mein Nenner gegen [mm] +\infty [/mm] strebt ist r=0

Bezug
                                        
Bezug
Konvergenzbereich Potenzreihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 04:10 Mo 16.12.2013
Autor: DieAcht


> Aber wenn ich die n-te Wurzel von [mm](ln(n))^n[/mm] betrachte,
> heben sich doch wurzel und exponent auf oder?
>  also muss ich nur ln(n) betrachten.
> und da [mm]r=\bruch{1}{\limes_{n \to \infty}ln(n)}[/mm] und mein
> Nenner gegen [mm]+\infty[/mm] strebt ist r=0

[ok]

DieAcht

Bezug
                        
Bezug
Konvergenzbereich Potenzreihen: zu Aufgabe b.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:01 Mo 16.12.2013
Autor: Loddar

Hallo bavarian!


> b) [mm]\limes_{n \to \infty}\wurzel[n]{|e^n*(x-2)^n|} = \limes_{n \to \infty}\wurzel[n]{e^n}*\wurzel[n]{(x-2)^n} = \limes_{n \to \infty}e*(x-2)= \limes_{n \to \infty}ex-2e[/mm]

Siehe oben: es reicht [mm] "e^n$ [/mm] zu betrachten.


> Nun muss ich wieder für verschiedene x Werte
> unterscheiden.
> x<1/e +2 -> Konvergenz
> x>1/e +2 -> Divergenz

Was ist mit $x \ [mm] \red{=} [/mm] \ [mm] \bruch{1}{e}+2$ [/mm] ?


Gruß
Loddar

Bezug
        
Bezug
Konvergenzbereich Potenzreihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:05 Mo 16.12.2013
Autor: fred97


> Bestimme die Konvergenzbereiche folgender Potenzreihen:
>  
> a) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (ln(n))^n*x^n[/mm]
>  
> b) [mm]\summe_{n=o}^{\infty} e^n*(x-2)^n[/mm]
>  Meine
> Lösungsversuch:
>  
> a) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (ln(n))^n*x^n[/mm]
>  
> Ich habe mich mit dem Quotientenkriterium versucht:
>   [mm] \limes_{n \to \infty}\bruch{a_{n+1}}{a_n}[/mm]
>  
> Betragsstriche kann ich weglassen, weil der Ausdruck nur
> positive Werte annehmen kann.


Nein, das kannst Du nicht, wenn Du das x mitschleppst !


>  [mm]\limes_{n \to \infty}\bruch{(ln(n+1))^{n+1}*x^{n+1}}{(ln(n))^n*x^n}= \limes_{n \to \infty}\bruch{(ln(n+1))^{n}*(ln(n+1))^{1}*x^{1}}{(ln(n))^n}[/mm]

Korrekt:

[mm]\limes_{n \to \infty}\bruch{(ln(n+1))^{n+1}*|x|^{n+1}}{(ln(n))^n*|x|^n}= \limes_{n \to \infty}\bruch{(ln(n+1))^{n}*(ln(n+1))^{1}*|x|}{(ln(n))^n}[/mm]

>  
> Irgendwie bringt mich des aber nicht weiter oder?

Doch !

Überlege Dir, dass

   [mm] \limes_{n \to \infty}\bruch{(ln(n+1))^{n}*(ln(n+1))^{1}*|x|}{(ln(n))^n}= \infty [/mm] ist für x [mm] \ne [/mm] 0.

Das bedeutet: die Potenzreihe konvergiert nur für x=0.


>  
> b) [mm]\summe_{n=o}^{\infty} e^n*(x-2)^n[/mm]
>  [mm]\limes_{n \to \infty}\bruch{e^{n+1}*(x-2)^{n+1}}{e^n*(x-2)^n}[/mm]


Korrekt:

[mm]\limes_{n \to \infty}\bruch{e^{n+1}*|x-2|^{n+1}}{e^n*|x-2|^n}[/mm]


>  
> =  [mm]\limes_{n \to \infty}e^1*(x-2)^1[/mm]


Korrekt:

=  [mm]\limes_{n \to \infty}e*|x-2|[/mm]= $e*|x-2|$


Nun bemühe das QK !


>  Also den zweiten
> Schritt hab ich über die Potenzgesetzte gemacht. Scheint
> mir aber irgendwie völliger Blödsinn zu sein. Ich hab ja
> dann gar kein n mehr, das ich gegen [mm]\infty[/mm] streben lassen
> kann.
>  

Sowas kommt vor.



FRED

P.S: die Acht hat recht, mit dem WK gehts schneller !


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