matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenFolgen und ReihenKonvergenzbereich Potenzreihen
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenzbereich Potenzreihen
Konvergenzbereich Potenzreihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Konvergenzbereich Potenzreihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:50 So 15.12.2013
Autor: bavarian16

Aufgabe
Bestimme die Konvergenzbereiche folgender Potenzreihen:

a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (ln(n))^n*x^n [/mm]

b) [mm] \summe_{n=o}^{\infty} e^n*(x-2)^n [/mm]

Meine Lösungsversuch:

a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (ln(n))^n*x^n [/mm]

Ich habe mich mit dem Quotientenkriterium versucht:
[mm] \limes_{n \to \infty}\bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm]
Betragsstriche kann ich weglassen, weil der Ausdruck nur positive Werte annehmen kann.
[mm] \limes_{n \to \infty}\bruch{(ln(n+1))^{n+1}*x^{n+1}}{(ln(n))^n*x^n}= \limes_{n \to \infty}\bruch{(ln(n+1))^{n}*(ln(n+1))^{1}*x^{1}}{(ln(n))^n} [/mm]
Irgendwie bringt mich des aber nicht weiter oder?

b) [mm] \summe_{n=o}^{\infty} e^n*(x-2)^n [/mm]
[mm] \limes_{n \to \infty}\bruch{e^{n+1}*(x-2)^{n+1}}{e^n*(x-2)^n} [/mm]
=  [mm] \limes_{n \to \infty}e^1*(x-2)^1 [/mm]
Also den zweiten Schritt hab ich über die Potenzgesetzte gemacht. Scheint mir aber irgendwie völliger Blödsinn zu sein. Ich hab ja dann gar kein n mehr, das ich gegen [mm] \infty [/mm] streben lassen kann.


        
Bezug
Konvergenzbereich Potenzreihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:54 So 15.12.2013
Autor: DieAcht

Beides schreit nach Wurzelkriterium!

DieAcht

Bezug
                
Bezug
Konvergenzbereich Potenzreihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:32 So 15.12.2013
Autor: bavarian16

Ok neuer Versuch mit dem Wurzelkriterium:

Wurzelkriterium:
[mm] \limes_{n \to \infty}\wurzel[n]{|a_n|} [/mm]

[mm] \limes_{n \to \infty}\wurzel[n]{|(ln(n))^n*x^n|} = \limes_{n \to \infty}\wurzel[n]{(ln(n))^n}*\wurzel[n]{x^n} = \limes_{n \to \infty}ln(n)*x [/mm]

Kann es sein dass mein Konvergenzbereich von x abhängt? Beim Wurzelkriterium muss ich schauen wo hin der Ausdruck strebt.
>1  ->  Divergenz
<1   -> Konvergenz
=1   -> keine Aussage
Nur wie komm ich dann auf den Konvergenzradius? Beim Quotientenkriterium muss ich dann den Kehrwert bilden. Ist das beim Wurzelkriterium auch so?

b) [mm] \limes_{n \to \infty}\wurzel[n]{|e^n*(x-2)^n|} = \limes_{n \to \infty}\wurzel[n]{e^n}*\wurzel[n]{(x-2)^n} = \limes_{n \to \infty}e*(x-2)= \limes_{n \to \infty}ex-2e [/mm]
Nun muss ich  wieder für verschiedene x Werte unterscheiden.
x<1/e +2   -> Konvergenz
x>1/e +2   -> Divergenz



Bezug
                        
Bezug
Konvergenzbereich Potenzreihen: zu Aufgabe a.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:59 So 15.12.2013
Autor: Loddar

Hallo bavarian!


> Wurzelkriterium: [mm]\limes_{n \to \infty}\wurzel[n]{|a_n|}[/mm]

>

> [mm]\limes_{n \to \infty}\wurzel[n]{|(ln(n))^n*x^n|} = \limes_{n \to \infty}\wurzel[n]{(ln(n))^n}*\wurzel[n]{x^n} = \limes_{n \to \infty}ln(n)*x[/mm]

Bei Potenzreihen [mm] $\summe a_n*x^n$ [/mm] "behandelt" man nur die Koeefizientenvorschrift [mm] $a_n$ [/mm] z.B. mit dem Wurzelkriterium.

Also betrachtet man nur [mm] $\left[ \ \ln(n) \ \right]^n$ [/mm] .


> Kann es sein dass mein Konvergenzbereich von x abhängt?
> Beim Wurzelkriterium muss ich schauen wo hin der Ausdruck
> strebt.
> >1 -> Divergenz
> <1 -> Konvergenz
> =1 -> keine Aussage
> Nur wie komm ich dann auf den Konvergenzradius? Beim
> Quotientenkriterium muss ich dann den Kehrwert bilden. Ist
> das beim Wurzelkriterium auch so?

[ok] Ja, siehe []hier.


Gruß
Loddar

Bezug
                                
Bezug
Konvergenzbereich Potenzreihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:28 Mo 16.12.2013
Autor: bavarian16

Aber wenn ich die n-te Wurzel von [mm] (ln(n))^n [/mm] betrachte, heben sich doch wurzel und exponent auf oder?
also muss ich nur ln(n) betrachten.
und da [mm] r=\bruch{1}{\limes_{n \to \infty}ln(n)} [/mm] und mein Nenner gegen [mm] +\infty [/mm] strebt ist r=0

Bezug
                                        
Bezug
Konvergenzbereich Potenzreihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 04:10 Mo 16.12.2013
Autor: DieAcht


> Aber wenn ich die n-te Wurzel von [mm](ln(n))^n[/mm] betrachte,
> heben sich doch wurzel und exponent auf oder?
>  also muss ich nur ln(n) betrachten.
> und da [mm]r=\bruch{1}{\limes_{n \to \infty}ln(n)}[/mm] und mein
> Nenner gegen [mm]+\infty[/mm] strebt ist r=0

[ok]

DieAcht

Bezug
                        
Bezug
Konvergenzbereich Potenzreihen: zu Aufgabe b.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:01 Mo 16.12.2013
Autor: Loddar

Hallo bavarian!


> b) [mm]\limes_{n \to \infty}\wurzel[n]{|e^n*(x-2)^n|} = \limes_{n \to \infty}\wurzel[n]{e^n}*\wurzel[n]{(x-2)^n} = \limes_{n \to \infty}e*(x-2)= \limes_{n \to \infty}ex-2e[/mm]

Siehe oben: es reicht [mm] "e^n$ [/mm] zu betrachten.


> Nun muss ich wieder für verschiedene x Werte
> unterscheiden.
> x<1/e +2 -> Konvergenz
> x>1/e +2 -> Divergenz

Was ist mit $x \ [mm] \red{=} [/mm] \ [mm] \bruch{1}{e}+2$ [/mm] ?


Gruß
Loddar

Bezug
        
Bezug
Konvergenzbereich Potenzreihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:05 Mo 16.12.2013
Autor: fred97


> Bestimme die Konvergenzbereiche folgender Potenzreihen:
>  
> a) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (ln(n))^n*x^n[/mm]
>  
> b) [mm]\summe_{n=o}^{\infty} e^n*(x-2)^n[/mm]
>  Meine
> Lösungsversuch:
>  
> a) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (ln(n))^n*x^n[/mm]
>  
> Ich habe mich mit dem Quotientenkriterium versucht:
>   [mm] \limes_{n \to \infty}\bruch{a_{n+1}}{a_n}[/mm]
>  
> Betragsstriche kann ich weglassen, weil der Ausdruck nur
> positive Werte annehmen kann.


Nein, das kannst Du nicht, wenn Du das x mitschleppst !


>  [mm]\limes_{n \to \infty}\bruch{(ln(n+1))^{n+1}*x^{n+1}}{(ln(n))^n*x^n}= \limes_{n \to \infty}\bruch{(ln(n+1))^{n}*(ln(n+1))^{1}*x^{1}}{(ln(n))^n}[/mm]

Korrekt:

[mm]\limes_{n \to \infty}\bruch{(ln(n+1))^{n+1}*|x|^{n+1}}{(ln(n))^n*|x|^n}= \limes_{n \to \infty}\bruch{(ln(n+1))^{n}*(ln(n+1))^{1}*|x|}{(ln(n))^n}[/mm]

>  
> Irgendwie bringt mich des aber nicht weiter oder?

Doch !

Überlege Dir, dass

   [mm] \limes_{n \to \infty}\bruch{(ln(n+1))^{n}*(ln(n+1))^{1}*|x|}{(ln(n))^n}= \infty [/mm] ist für x [mm] \ne [/mm] 0.

Das bedeutet: die Potenzreihe konvergiert nur für x=0.


>  
> b) [mm]\summe_{n=o}^{\infty} e^n*(x-2)^n[/mm]
>  [mm]\limes_{n \to \infty}\bruch{e^{n+1}*(x-2)^{n+1}}{e^n*(x-2)^n}[/mm]


Korrekt:

[mm]\limes_{n \to \infty}\bruch{e^{n+1}*|x-2|^{n+1}}{e^n*|x-2|^n}[/mm]


>  
> =  [mm]\limes_{n \to \infty}e^1*(x-2)^1[/mm]


Korrekt:

=  [mm]\limes_{n \to \infty}e*|x-2|[/mm]= $e*|x-2|$


Nun bemühe das QK !


>  Also den zweiten
> Schritt hab ich über die Potenzgesetzte gemacht. Scheint
> mir aber irgendwie völliger Blödsinn zu sein. Ich hab ja
> dann gar kein n mehr, das ich gegen [mm]\infty[/mm] streben lassen
> kann.
>  

Sowas kommt vor.



FRED

P.S: die Acht hat recht, mit dem WK gehts schneller !


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]