Konvergenzbereich bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:38 Mi 14.02.2007 | | Autor: | ex.aveal |
Hallo.
Gegeben ist die Reihe [mm] \summe_{k=0}^{\infty}3^{2k+1}(x-1)^{2k}
[/mm]
Man soll nun den Konvergenzbereich angeben. Dazu muss man ja zuerst den Konvergenzradius ausrechnen.
[mm] r=\wurzel[2]{\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{3^{2k+1}}{3^{1k+3}}|}=\wurzel[2]{\bruch{1}{3}}
[/mm]
Ist das richtig? Es handelt sich hierbei ja um eine geometrische Reihe, richtig?
Der Entstehungspunkt ist 1, somit ist der Konvergenzbereich von [mm] 1-\wurzel[2]{\bruch{1}{3}} [/mm] bis [mm] 1+\wurzel[2]{\bruch{1}{3}}
[/mm]
Nun soll noch ermittelt werden, gegen welche !Funktion! diese Summe konvergiert. Welchen Ansatz muss man dafür bilden?
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Hallo ex.avael!
Da ist Dir bei der Berechnung des Konvergenzradius' ein Fehler unterlaufen:
$r \ = \ [mm] \wurzel[2]{\limes_{k\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_k}{a_{k+1}}\right|} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{\limes_{k\rightarrow\infty}\left|\bruch{3^{2k+1}}{3^{2*\red{(k+1)}+1}}\right|}\ [/mm] = \ [mm] \wurzel{\limes_{k\rightarrow\infty}\left|\bruch{3^{2k+1}}{3^{\red{2}k+3}}\right|}\ [/mm] = \ [mm] \wurzel{\limes_{k\rightarrow\infty}\left|\bruch{1}{\red{9}}\right|} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{3}$
[/mm]
> Der Entstehungspunkt ist 1, somit ist der Konvergenzbereich von [mm]1-\wurzel[2]{\bruch{1}{3}}[/mm] bis [mm]1+\wurzel[2]{\bruch{1}{3}}[/mm]
Prinzipiell richtig. Aber was ist mit der Konvergenz exakt auf den Rändern des Intervalles [mm] $\left] \ 1-r \ ; \ 1+r \ \right[$ [/mm] ?
Diese musst Du noch separat untersuchen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:00 Do 15.02.2007 | | Autor: | wauwau |
Wrum so kompliziert??
Die Summe schreibt sich, wie schon richtig bemerkt auch als
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}3^{2k+1}(x-1)^{2k} [/mm] = [mm] 3.\summe_{k=1}^{\infty} (9.(x-1)^{2})^{k} [/mm] als normale geometriche Reihe
die genau dann konvergiert wenn
[mm] 9.(x-1)^{2} [/mm] < 1 und damit [mm] \bruch{2}{3} [/mm] < x < [mm] \bruch{4}{3}
[/mm]
und die Summe berechnet sich zu
[mm] \bruch{3}{1-9.(x-1)^{2}}
[/mm]
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