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Konvergenzbestimmung: tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:21 So 15.11.2009
Autor: Katey

Sei  [mm] a_{n}\ge [/mm] 0 und die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n} [/mm] sei konvergent. Man zeige, dass die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (\wurzel{a_{n}}/n^{a}) [/mm]  für jedes a > 1/2 konvergiert.

hat jemand eine idee, wie ich die Aufgabe lösen kann. ich hab es mit dem majorantenkriterium versucht, komm aber leider nicht weiter
liebe grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Konvergenzbestimmung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:15 So 15.11.2009
Autor: barsch

Hi,

ganz sicher bin ich mir da auch nicht. Aber folgender Gedanke: Das schreit nach Majorantenkriterium. Voraussetzungen dafür sind gegeben, da [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n} [/mm] konvergent mit [mm] a_n\ge{0}. [/mm]

[mm] |\bruch{\wurzel{a_n}}{n^a}|=\bruch{\wurzel{a_n}}{n^a}\stackrel{\mathrm{\red{a>\bruch{1}{2}}}}\le{\bruch{\wurzel{a_n}}{n^\bruch{1}{2}}}=\wurzel{\bruch{a_n}{n}}\le{...}\le{a_n} [/mm]

Weiter sollte es kein Problem sein.

Gruß
barsch

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Konvergenzbestimmung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:39 So 15.11.2009
Autor: Katey

bis zu deinem schritt [mm] \wurzel{an/n} [/mm] hatte ich es auch ....aber weiter kann ich ja nicht, soll ich da noch mehr umformen?
liebe grüße
katey

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Konvergenzbestimmung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:49 So 15.11.2009
Autor: barsch

Hi,

> bis zu deinem schritt [mm]\wurzel{an/n}[/mm] hatte ich es auch

wenn du schon soweit warst, wäre es schön gewesen, du hättest deinen Lösungsansatz hier aufgeschrieben.

> ....aber weiter kann ich ja nicht, soll ich da noch mehr
> umformen?

Ja, du willst ja am Ende [mm] \le{a_n} [/mm] dastehen haben - Sieh' dir noch mal die genauen Satz des Majorantenkriteriums an.

> $ [mm] |\bruch{\wurzel{a_n}}{n^a}|=\bruch{\wurzel{a_n}}{n^a}\stackrel{\mathrm{\red{a>\bruch{1}{2}}}}\le{\bruch{\wurzel{a_n}}{n^\bruch{1}{2}}}=\wurzel{\bruch{a_n}{n}}\le{...}\le{a_n} [/mm] $

Überlegen wir mal:

Wir haben [mm] \wurzel{\bruch{a_n}{n}}, [/mm] wie können wir das nach oben abschätzen? Was passiert denn für [mm] n\ge{1}? [/mm]

z.B. für n=1: [mm] \wurzel{\bruch{a_1}{1}}=\wurzel{a_1} [/mm]

für n=2: [mm] \wurzel{\bruch{a_2}{2}}<\wurzel{a_2} [/mm]

usw.

Es ist also: [mm] \wurzel{\bruch{a_n}{n}}\le{\wurzel{a_n}} [/mm]

Naja, und dann noch eine Abschätzung: Es ist [mm] \wurzel{a_n}\le{a_n}, [/mm] oder!

Gruß
barsch

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Konvergenzbestimmung: Korrekturmitteilung
Status: (Korrektur) kleiner Fehler Status 
Datum: 17:58 So 15.11.2009
Autor: HJKweseleit

Es ist nicht ganz richtig, dass $ [mm] \wurzel{a_n}\le{a_n} [/mm] $;

denn da die Reihe konvergiert, muss [mm] a_n [/mm] gegen 0 konvergieren, also "am Schwanz" sind alle [mm] |a_n|<1 [/mm] und damit $ [mm] \wurzel{a_n}\ge{a_n} [/mm] $.

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Konvergenzbestimmung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:01 So 15.11.2009
Autor: Katey

achso....
ok jetzt hab ichs verstanden
danke schön :)
und noch einen schönen sonntagabend
liebe grüße

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Konvergenzbestimmung: Lösung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:58 Fr 20.11.2009
Autor: HJKweseleit

Da man fast nichts über die Folge [mm] a_n [/mm] weiß, bietet sich nur so etwas wie ein Majoranten-Kriterium an. Das Problem liegt aber in Folgendem:

Die [mm] a_n [/mm] bilden eine Nullfolge, sind also irgendwann alle <1. Damit wird aber [mm] \wurzel{a_n}>a_n, [/mm] so dass [mm] a_n [/mm] selber (zunächst) als Majaorante entfällt. Ein einfaches Beispiel soll dies verdeutlichen: Wähle [mm] a_n=\bruch{1}{n^2}. [/mm] Bekanntermaßen konvergiert die Summe. Nehmen wir nun stattdessen [mm] \wurzel{a_n}=\bruch{1}{n}, [/mm] so divergiert die Summe.

Deshalb basteln wir uns eine Majorantenfolge zusammen, die konvergiert.

Festlegung: Für a>1/2 gelte: a=1/2+k/2 mit festem k>0.

Wir betrachten nun die Folge [mm] \wurzel{\bruch{a_n}{n}}. [/mm]
für jedes Glied gilt: [mm] \wurzel{\bruch{a_n}{n}}\ge\bruch{1}{n} [/mm] oder [mm] \wurzel{\bruch{a_n}{n}}<\bruch{1}{n}. [/mm]

1. Fall: [mm] \wurzel{\bruch{a_n}{n}}\ge\bruch{1}{n} [/mm]
   [mm] (quadrieren)\Rightarrow \bruch{a_n}{n}\ge\bruch{1}{n^2} [/mm]
   (*n) [mm] \Rightarrow a_n\ge \bruch{1}{n} [/mm]
   (Wurzel) [mm] \Rightarrow \wurzel{a_n}\ge\wurzel{\bruch{1}{n}} [/mm]
    (a)      (* [mm] \wurzel{a_n}) \Rightarrow \wurzel{a_n}*\wurzel{a_n}\ge \wurzel{a_n}*\wurzel{\bruch{1}{n}} [/mm] sowie
    (b)      (* [mm] \wurzel{\bruch{1}{n}}) \Rightarrow \wurzel{a_n}*\wurzel{\bruch{1}{n}}\ge \wurzel{\bruch{1}{n}}*\wurzel{\bruch{1}{n}}, [/mm] zusammengefasst somit

[mm] a_n=\wurzel{a_n}*\wurzel{a_n}\ge \wurzel{a_n}*\wurzel{\bruch{1}{n}}= \wurzel{\bruch{a_n}{n}}\ge \wurzel{\bruch{1}{n}}*\wurzel{\bruch{1}{n}}= \bruch{1}{n} [/mm]

[mm] \Rightarrow a_n=\ge \wurzel{\bruch{a_n}{n}}\ge \bruch{1}{n} [/mm]

2. Fall: [mm] \wurzel{\bruch{a_n}{n}}<\bruch{1}{n} [/mm]
   [mm] (quadrieren)\Rightarrow \bruch{a_n}{n}<\bruch{1}{n^2} [/mm]
   (*n) [mm] \Rightarrow a_n< \bruch{1}{n} [/mm]
   (Wurzel) [mm] \Rightarrow \wurzel{a_n}<\wurzel{\bruch{1}{n}} [/mm]
    (a)      (* [mm] \wurzel{a_n}) \Rightarrow \wurzel{a_n}*\wurzel{a_n}< \wurzel{a_n}*\wurzel{\bruch{1}{n}} [/mm] sowie
    (b)      (* [mm] \wurzel{\bruch{1}{n}}) \Rightarrow \wurzel{a_n}*\wurzel{\bruch{1}{n}}< \wurzel{\bruch{1}{n}}*\wurzel{\bruch{1}{n}}, [/mm] zusammengefasst somit

[mm] a_n=\wurzel{a_n}*\wurzel{a_n}< \wurzel{a_n}*\wurzel{\bruch{1}{n}}= \wurzel{\bruch{a_n}{n}}< \wurzel{\bruch{1}{n}}*\wurzel{\bruch{1}{n}}= \bruch{1}{n} [/mm]

[mm] \Rightarrow a_n< \wurzel{\bruch{a_n}{n}}< \bruch{1}{n} [/mm]


Damit gilt für jeden Summanden:

0 [mm] \le \wurzel{\bruch{a_n}{n}}\le max(a_n|\bruch{1}{n}) [/mm] und damit

0 [mm] \le \wurzel{\bruch{a_n}{n^{1+k}}}=\bruch{\wurzel{a_n}}{n^{1/2+k/2}}=\bruch{\wurzel{a_n}}{n^a}\le max(\bruch{a_n}{n^{k/2}}|\bruch{1}{n^{1+k}})\le max(a_n|\bruch{1}{n^{1+k}}) [/mm]
-----------------------------
Nun haben wir eine [mm] Majorante:max(a_n|\bruch{1}{n^{1+k}}) [/mm]

Betrachte nun [mm] \summe_{i=1}^{\infty} a_n [/mm] = S und
              [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{n^{1+k}} [/mm] = T
Auch von der letzten Summe ist bekannt, dass sie konvergiert.

Dann ist [mm] \summe_{i=1}^{\infty} (a_n+\bruch{1}{n^{1+k}}) [/mm] = S+T konvergent und damit auch

[mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{\wurzel{a_n}}{n^a} \le \summe_{i=1}^{\infty} max(a_n|\bruch{1}{n^{1+k}}) [/mm]
[mm] \le \summe_{i=1}^{\infty}(a_n+\bruch{1}{n^{1+k}})=\summe_{i=1}^{\infty}a_n +\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{n^{1+k}} [/mm] = S+T.


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