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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:27 Mo 16.04.2007 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | Welche der folgenden Aussagen gelten für reelle Folgen? Gib ggf. ein Gegenbeispiel an.
(a) konvergent => Cauchyfolge
(b) Cauchyfolge => konvergent
(c) beschränkt => konvergent
(d) beschränkt, monoton => konvergent
Was ändert sich bei rationalen Folgen? Warum? |
Folgende Gedanken habe ich mir gemacht:
(a) jede konvergente Folge ist immer auch eine Cauchyfolge. Dies ergibt sich einfach aus der Tatsache, dass die Folgeglieder einer konvergenten Folge immer dichter aneinander liegen und somit ihr "Abstand" auch immer geringer wird.
(b) Gilt bei reellen Folgen nicht unbedingt, da der Grenzwert nicht in [mm] \IQ [/mm] enthalten sein muss und somit eine Folge auch wenn sie das Cauchykriterium erfüllt nicht unbedingt konvergent sein muss. Bsp. [mm] a_n [/mm] = 1/n + r , r [mm] \in \IR [/mm] / [mm] \IQ
[/mm]
Für rationale Folgen ist diese Aussage jedoch zutreffend, da der Grenzwert auf jeden Fall in [mm] \IR [/mm] enthalten ist.
(c) gilt nicht, Gegenbeispiel: eine alternierende Folge wie z.B. [mm] a_n [/mm] = [mm] ((-1)^n )_n_\in_\IN [/mm] [ist das dann aber nicht eigentlich eine natürlich Folge? Denn alle Folgeglieder sind [mm] \in \IN [/mm] . Wäre [mm] b_n [/mm] = sin n eine rationale bzw reelle Folge für n [mm] \in \IR [/mm] bzw. [mm] \IQ [/mm] ]
(d) Wieder eine ähnliche Überlegung wie bei Aufgabenteil (b). Ist die Folge reell dann muss der Wert gegen den sie eigentlich konvergiert nicht unbedingt in [mm] \IQ [/mm] liegen. Bsp.: wie in (b). Bei rationalen Folgen gilt diese Aussage jedoch immer.
Sind meine Überlegungen richtig? Wenn nicht wo sind die Fehler und gibt es für (c) vllt noch andere bessere Beispiele?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Zerwas!
Zunächst mal eines vorweg: [mm] $\IR$ [/mm] bezeichnet die reellen Zahlen, [mm] $\IQ$ [/mm] die rationalen Zahlen. Wenn du deine Argumentation vertauschst, dann stimmt aber das meiste:
> (a) konvergent => Cauchyfolge
> (b) Cauchyfolge => konvergent
> (c) beschränkt => konvergent
> (d) beschränkt, monoton => konvergent
>
> Was ändert sich bei rationalen Folgen? Warum?
> Folgende Gedanken habe ich mir gemacht:
>
> (a) jede konvergente Folge ist immer auch eine Cauchyfolge.
> Dies ergibt sich einfach aus der Tatsache, dass die
> Folgeglieder einer konvergenten Folge immer dichter
> aneinander liegen und somit ihr "Abstand" auch immer
> geringer wird.
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> (b) Gilt bei reellen Folgen nicht unbedingt, da der
> Grenzwert nicht in [mm]\IQ[/mm] enthalten sein muss und somit eine
> Folge auch wenn sie das Cauchykriterium erfüllt nicht
> unbedingt konvergent sein muss. Bsp. [mm]a_n[/mm] = 1/n + r , r [mm]\in \IR[/mm]
> / [mm]\IQ[/mm]
Bei einer reellen konvergenten Folge ist der Grenzwert zwar nicht notwendigerweise in [mm] $\IQ$ [/mm] enthalten, aber in [mm] $\IR$. [/mm] Für eine reelle Folge gilt (b) also.
[mm] $\big(a_n\big)$ [/mm] ist zwar ein Beispiel einer Folge, die [mm] $\IR$, [/mm] aber nicht in [mm] $\IQ$ [/mm] konvergiert. Allerdings ist es keine rationale Folge. Du kannst dir aber leicht eine rationale Folge basteln, die gegen etwas irrationales konvergiert: [mm] $b_n:=\sum_{k=0}^n\frac 1{n!}\in\IQ$ [/mm] konvergiert gegen [mm] $e\in\IR\setminus\IQ$. [/mm]
> (c) gilt nicht, Gegenbeispiel: eine alternierende Folge wie
> z.B. [mm]a_n[/mm] = [mm]((-1)^n )_n_\in_\IN[/mm] [ist das dann aber nicht
> eigentlich eine natürlich Folge? Denn alle Folgeglieder
> sind [mm]\in \IN[/mm] . Wäre [mm]b_n[/mm] = sin n eine rationale bzw reelle
> Folge für n [mm]\in \IR[/mm] bzw. [mm]\IQ[/mm] ]
Außerdem ist eine natürliche Folge insbesondere eine reelle Folge, da [mm] $\IN\subset\IR$!
[/mm]
> (d) Wieder eine ähnliche Überlegung wie bei Aufgabenteil
> (b). Ist die Folge reell dann muss der Wert gegen den sie
> eigentlich konvergiert nicht unbedingt in [mm]\IQ[/mm] liegen. Bsp.:
> wie in (b). Bei rationalen Folgen gilt diese Aussage jedoch
> immer.
Hier hast du denselben Fehler gemacht wie bei (b).
Gruß, banachella
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