Konvergenzen und Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:16 So 22.11.2015 | | Autor: | b.reis |
| Aufgabe | ist die Definition [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN \forall \varepsilon> 0:|y-y_n|<\varepsilon \foralln>N [/mm] für ein festes y
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN :|z-z_n|<\varepsilon \foralln>N [/mm] für ein festes z |
Hallo,
Ist die Definition die selbe oder gibt's hier nen Unterschied : [mm] \exists [/mm] N [mm] \in \IN \forall \varepsilon> [/mm] 0 =?
[mm] \forall \varepsilon> [/mm] 0 [mm] \exists [/mm] N [mm] \varepsilon \IN [/mm]
vielen Dank
Benni
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Hallo,
> ist die Definition [mm]\exists[/mm] N [mm]\in \IN \forall \varepsilon> 0:|y-y_n|<\varepsilon \foralln>N[/mm]
> für ein festes y
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> [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists[/mm] N [mm]\in \IN :|z-z_n|<\varepsilon \foralln>N[/mm]
> für ein festes z
> Hallo,
> Ist die Definition die selbe oder gibt's hier nen
> Unterschied : [mm]\exists[/mm] N [mm]\in \IN \forall \varepsilon>[/mm] 0
> =?
> [mm]\forall \varepsilon>[/mm] 0 [mm]\exists[/mm] N [mm]\varepsilon \IN[/mm]
Ja, das ist ein großer Unterschied.
Man kann Existenz- und Allquantor i.d.R. nicht problemlos vertauschen ...
In der ersten Definition ist das [mm]N[/mm] ein universelles [mm]N[/mm], in der anderen ist es (i.a.R) von dem beliebig vorgegebenen [mm]\varepsilon[/mm] abhängig und je nach [mm]\varepsilon[/mm] verschieden ...
>
> vielen Dank
> Benni
Gruß
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:46 Mo 23.11.2015 | | Autor: | fred97 |
> ist die Definition [mm]\exists[/mm] N [mm]\in \IN \forall \varepsilon> 0:|y-y_n|<\varepsilon \foralln>N[/mm]
> für ein festes y
Ich mach mal sichtbar, was im Quelltext zu sehen ist:
(*) [mm]\exists[/mm] N [mm]\in \IN \forall \varepsilon> 0:|y-y_n|<\varepsilon \forall n>N[/mm]
Nun nehmen wir an, y sei fest und für die Folge [mm] (y_n) [/mm] gelte (*). Ist dann k>N, so haben wir:
[mm] |y-y_k|<\varepsilon [/mm] für jedes positive [mm] \varepsilon.
[/mm]
Dann ist aber [mm] y_k=y.
[/mm]
Damit gilt für die Folge [mm] (y_n): y_n=y [/mm] für alle n mit n>N. [mm] (y_n) [/mm] ist also "fast konstant".
Es gibt viele konvergente Folgen, die diese Eigenschaft nicht haben !
FRED
>
> [mm]\forall \varepsilon[/mm] > 0 [mm]\exists[/mm] N [mm]\in \IN :|z-z_n|<\varepsilon \foralln>N[/mm]
> für ein festes z
> Hallo,
> Ist die Definition die selbe oder gibt's hier nen
> Unterschied : [mm]\exists[/mm] N [mm]\in \IN \forall \varepsilon>[/mm] 0
> =?
> [mm]\forall \varepsilon>[/mm] 0 [mm]\exists[/mm] N [mm]\varepsilon \IN[/mm]
>
> vielen Dank
> Benni
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