Konvergenzintervall < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:41 Mi 11.05.2011 | | Autor: | al3pou |
Ich habe die Reihen
(a) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k(k+1)}{4^{k}}x^{k}
[/mm]
(b) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k(k+1)}{4^{k}}x^{2k+2}
[/mm]
Die müssten ja beide den Konvergenzradius 4 haben, aber wie bestimme ich einen Konvergenzintervall?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:57 Mi 11.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe die Reihen
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> (a) [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k(k+1)}{4^{k}}x^{k}[/mm]
>
> (b) [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k(k+1)}{4^{k}}x^{2k+2}[/mm]
>
> Die müssten ja beide den Konvergenzradius 4 haben
Das stimmt nur bei (a) !!
In (b) setze [mm] z=x^2. [/mm] Dann entsteht die Reihe
[mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k(k+1)}{4^{k}}z^{k+1}[/mm]
Diese konvergiert für |z|<4. Somit hat [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k(k+1)}{4^{k}}x^{2k+2}[/mm] den Konvergenzradius 2.
> , aber
> wie bestimme ich einen Konvergenzintervall?
Die Reihe in (a) konv. für x [mm] \in [/mm] (-4,4). Du mußt noch untersuchen, ob sie in den Randpunkten dieses Intervalls konvergiert.
Die Reihe in (b) konv. für x [mm] \in [/mm] (-2,2). Du mußt noch untersuchen, ob sie in den Randpunkten dieses Intervalls konvergiert.
FRED
FRED
>
> LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 Mi 11.05.2011 | | Autor: | al3pou |
Kannst du das für (b) nochmal Schritt für Schritt mich Rechenweg erklären? Das würde mir weiter helfen, weil ich das dann besser nachvollziehen kann.
LG
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Hallo al3pou!
Setze zunächst [mm] $x_1 [/mm] \ = \ -2$ in die Potenzreihe ein und untersuche die entstehende Reihe auf Konvergenz
Anschließend dasselbe für [mm] $x_2 [/mm] \ = \ +2$ .
Gruß vom
Roadrunner
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