Konvergenzkreisscheibe bestim. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie bitte die Konvergenzkreisscheibe M der Potenzreihe:
[mm] \sum_{k=0}^{\infty}\left(\wurzel[k^k]{\exp(((k+2)^k+k^k * \wurzel[k]{2^k+4^k})*\log(2))}\right)^k *(2-\bruch{1}{4}z)^k [/mm] |
Hallo
also ich komme hier irgendwie gar nicht weiter, weiß auch nicht so recht wie ich an diese Aufgabe herangehen soll.
Mein erster Ansatz wäre, das Wurzelkriterium zu verwenden:
[mm] \lim_{k \to \infty}\wurzel[k]{\left| \wurzel[k^k]{\exp((k+2)^k+k^k*\wurzel[k]{2^k+4^k})*\log(2)} \right|}
[/mm]
ja und nun habe ich keinen Plan mehr was ich machen soll, vielleicht kann mir ja einer helfen.....
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Bestimmen Sie bitte die Konvergenzkreisscheibe M der
> Potenzreihe:
> [mm]\sum_{k=0}^{infty} \left( \wurzel[k^k]{exp(((k+2)^k+k^k * \wurzel[k]{2^k+4^k})*log(2))}\right)^k *(2-\bruch{1}{4}z)^k[/mm]
>
> Hallo
> also ich komme hier irgendwie gar nicht weiter, weiß auch
> nicht so recht wie ich an diese Aufgabe herangehen soll.
> Mein erster Ansatz wäre, das Wurzelkriterium zu
> verwenden:
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich denke auch, daß man mit dem Wurzelkriterium nicht schlecht liegt. Man hat denn aber
>
> [mm]\lim_{k \to \infty}\wurzel[k]{\left| \wurzel[k^k]{exp((k+2)^k+k^k*\wurzel[k]{2^k+4^k})*log(2)} \right|^{\red{k}}[/mm]
[mm] =\lim_{k \to \infty}\left| \wurzel[k^k]{exp((k+2)^k+k^k*\wurzel[k]{2^k+4^k})*log(2)} \right|.
[/mm]
>
> ja und nun habe ich keinen Plan mehr was ich machen soll,
generell: den Grenzwert berechnen...
> vielleicht kann mir ja einer helfen.....
Versuch mal, den Grenzwert nach unten und oben abzuschätzen, so liegt [mm] (k+2)^k [/mm] zwischen [mm] k^k [/mm] und [mm] (2k)^k.
[/mm]
Nächste Idee: [mm] exp((k+2)^k+k^k*\wurzel[k]{2^k+4^k})=exp(k^k(1+2/k)^k+k^k*\wurzel[k]{2^k+4^k})=exp[k^k(1+2/k)^k+\wurzel[k]{2^k+4^k}).
[/mm]
Aber mir wird auch gerade ganz schwindelig davon...
Gruß v. Angela
> [mm] (1+2/k)^k+k^k*\wurzel[k]{2^k+4^k})
[/mm]
>
> Danke
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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ersteinmal danke für die schnelle Antwort, stimmt das mit der Wurzel/Potenzen hatte ich vor lauter Panik übersehen :)
hm, mit dem Grenzwert bestimmen komme ich aber nicht wirklich klar, da ich mit den Sachen unter der Wurzel nicht klar komme.
mein weiterer Ansatz, der mich wieder in eine Wissenssackgasse geführt hat war:
für das unter der Wurzel:
[mm] ln\left(\left((k+2)^k+k^k*\wurzel[k]{2^k+4^k}\right)*log(2)\right)
[/mm]
dann noch die ln's trennen(was nicht relevant ist):
[mm] ln\left((k+2)^k+k^k*\wurzel[k]{2^k+4^k}\right)*ln(0,3)
[/mm]
so und wieder keine Ahnung wie es weiter geht. Ich glaube mein Problem ist, dass ich nicht weiss wie so eine Konvergenzkreisscheibe aussieht, also was für eine Art Ergebnis ich brauche.
Gruss Atlan
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> ersteinmal danke für die schnelle Antwort, stimmt das mit
> der Wurzel/Potenzen hatte ich vor lauter Panik übersehen
> :)
>
> hm, mit dem Grenzwert bestimmen komme ich aber nicht
> wirklich klar, da ich mit den Sachen unter der Wurzel nicht
> klar komme.
>
> mein weiterer Ansatz, der mich wieder in eine
> Wissenssackgasse geführt hat war:
> für das unter der Wurzel:
>
> [mm]\red{ln}\left(\left((k+2)^k+k^k*\wurzel[k]{2^k+4^k}\right)*log(2)\right)[/mm]
Hallo,
warum denn jetzt ln ?
> dann noch die ln's trennen(was nicht relevant ist):
> [mm]ln\left((k+2)^k+k^k*\wurzel[k]{2^k+4^k}\right)*ln(0,3)[/mm]
> so und wieder keine Ahnung wie es weiter geht. Ich glaube
> mein Problem ist, dass ich nicht weiss wie so eine
> Konvergenzkreisscheibe aussieht, also was für eine Art
> Ergebnis ich brauche.
Als Ergebnis brauchst Du eine reelle Zahl, nämlich den Konvergenzradius r.
Für alle z mit |2-0.25z| < r konvergiert die Reihe, für die mit |2-0.25z| > r divergiert sie, und |2-0.25z|=r ist gesondert zu untersuchen.
Gruß v. Angela
>
> Gruss Atlan
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also ich versuche es noch ein letztes mal :)
[mm] \wurzel[k^k]{exp\left((k+2)^k+k^k* \wurzel[k]{2^k+4^k}\right)}=
[/mm]
[mm] e^\left[(k+2)^k+k^k* \wurzel[k]{2^k+4^k}\right]*\bruch{1}{k^k}=
[/mm]
[mm] log\left[e^\left[(k+2)^k+k^k* \wurzel[k]{2^k+4^k}\right]*\bruch{1}{k^k}\right]=
[/mm]
[mm] \left[(k+2)^k+k^k* \wurzel[k]{2^k+4^k}\right]*\bruch{1}{k^k}=
[/mm]
[mm] (k+2)^k*\bruch{1}{k^k}+(2^k+4^k)^\bruch{1}{k^k}
[/mm]
[mm] \lim_{k \to \infty}(k+2)^k*\bruch{1}{k^k}+(2^k+4^k)^\bruch{1}{k^k}
[/mm]
und da habe ich dann 1 raus
was habe ich nun falsch gemacht?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:37 Di 23.03.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo AtlanGonozal!
Wo zauberst Du denn plötzlich den [mm] $\log$ [/mm] her? ![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]")
Zudem gilt [mm] $\wurzel[k]{...} [/mm] \ = \ [mm] \left(...\right)^{\bruch{1}{k}}$ [/mm] .
Und für den einen Wurzelausdruck kann man wie folgt umformen:
[mm] $$\wurzel[k]{2^k+4^k} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[k]{4^k*\left(\bruch{2^k}{4^k}+1\right)} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel[k]{4^k}*\wurzel[k]{\left(\bruch{2}{4}\right)^k+1} [/mm] \ = \ [mm] 4*\wurzel[k]{\left(\bruch{1}{2}\right)^k+1}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:37 Di 23.03.2010 | | Autor: | fred97 |
Da kommt einem die Idee, dass die Todesstrafe für Mathematikaufgabensteller manchmal ganz angebracht wäre .....
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:49 Di 23.03.2010 | | Autor: | gfm |
Ohne Gewähr:
Deine Summe [mm] \summe_k^{\infty} a_k (2-z/4)^k [/mm] hat ein [mm] a_k [/mm] in der Form
[mm] a_k=2^{k(1+2/k)^k} 2^{2k(1+2^k)^{1/k}}
[/mm]
Das sollte mit dem Wurzelkriterium ein [mm] r=1/(2^{e^2+2}) [/mm] ergeben.
LG
gfm
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:58 Fr 26.03.2010 | | Autor: | gfm |
> Ohne Gewähr:
>
> Deine Summe [mm]\summe_k^{\infty} a_k (2-z/4)^k[/mm] hat ein [mm]a_k[/mm] in
> der Form
>
> [mm]a_k=2^{k(1+2/k)^k} 2^{2k(1+2^k)^{1/k}}[/mm]
>
> Das sollte mit dem Wurzelkriterium ein [mm]r=1/(2^{e^2+2})[/mm]
> ergeben.
Ist das überhaupt richtig von mir? Hat das mal jemand ausführlich gerechnet?
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> Ist das überhaupt richtig von mir? Hat das mal jemand
> ausführlich gerechnet?
Hallo,
ja, ich hab's jetzt gerechnet - und es war wirklich nicht so schwer wie ich zuerst dachte.
Ich bin wie Du davon ausgegangen, daß log für den natürlichen Logarithmus stehen soll, also für ln.
(Wenn das der 10er-log sein soll, ändert sich ein klein bißchchen was.)
Ich bekomme dann ein Ergebnis, welches Deinem sehr ähnelt: der gesuchte Grenzwert ist [mm] 2^{e^2+4}, [/mm] der Konvergenzradius der Kehrwert davon.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:58 Mo 29.03.2010 | | Autor: | gfm |
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> > Ist das überhaupt richtig von mir? Hat das mal jemand
> > ausführlich gerechnet?
>
> Hallo,
>
> ja, ich hab's jetzt gerechnet - und es war wirklich nicht
> so schwer wie ich zuerst dachte.
> Ich bin wie Du davon ausgegangen, daß log für den
> natürlichen Logarithmus stehen soll, also für ln.
>
> (Wenn das der 10er-log sein soll, ändert sich ein klein
> bißchchen was.)
>
> Ich bekomme dann ein Ergebnis, welches Deinem sehr ähnelt:
> der gesuchte Grenzwert ist [mm]2^{e^2+4},[/mm] der >
Deine 4 ist richtig. Sie entsteht durch die vordere 2 und das [mm] 2^k [/mm] im Exponenten der zweiten Potenz.
LG
gfm
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