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| Aufgabe | Untersuchen sie die Reihe auf Konvergenz, absolute Konvergenz oder Divergenz.
Dabei sei n [mm] \in \mathbb{N}:
[/mm]
[mm] \summe_{n}^{}(-1)^{n}\bruch{n!}{n^{n}}
[/mm]
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Guten Morgen!
[mm] \bruch{n!}{n^{n}} [/mm] ist eine Nullfolge und nach Leibniz ist die Reihe konvergent.
Wendet man aber das Quatientenkriterium auf die Reihe an, so kommt absolute Konvergenz raus:
[mm] \left|\bruch{(-1)^{n+1}\bruch{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{ (-1)^{n}\bruch{n!}{n^{n}}}\right| [/mm] Da [mm] \bruch{(-1)^{n+1}}{(-1)^{n}} [/mm] stets -1 ergibt, kann man den Bruch getrost durch -1 ersetzen
= [mm] \left|(-1)* \bruch{(n+1)! * n^{n}}{(n+1)^{n+1}*n!}\right| [/mm] = [mm] \left|(-1)* \bruch{n! * (n+1) * n^{n}}{(n+1)^{n} * (n+1) *n!}\right| [/mm] = [mm] \left|(-1)* \bruch{n^{n}}{(n+1)^{n}}\right| [/mm] = [mm] \left|(-1)* (\bruch{n}{n+1})^{n}\right| [/mm] = [mm] \left|(-1)* (\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}})^{n}\right| [/mm] = [mm] \left|(-1)* \bruch{1}{(1+\bruch{1}{n})^{n}}\right| [/mm]
=
[mm] \left| \bruch{1}{(1+\bruch{1}{n})^{n}}\right| [/mm] < 1, weil [mm] \left| \bruch{1}{(1+\bruch{1}{n})^{n}}\right| [/mm] gegen 1/ e strebt.
Was ist nun richtig und wo liegt der Fehler?
Ich bedanke mich bereits im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:19 Mo 10.12.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Untersuchen sie die Reihe auf Konvergenz, absolute
> Konvergenz oder Divergenz.
> Dabei sei n [mm]\in \mathbb{N}:[/mm]
>
> [mm]\summe_{n}^{}(-1)^{n}\bruch{n!}{n^{n}}[/mm]
> [mm]\bruch{n!}{n^{n}}[/mm] ist eine Nullfolge und nach Leibniz ist
> die Reihe konvergent.
>
>
> Wendet man aber das Quatientenkriterium auf die Reihe an,
> so kommt absolute Konvergenz raus:
> Was ist nun richtig und wo liegt der Fehler?
Das ist kein Widerspruch, nimm z. B. [mm] \summe_{}^{}(-1)^{n+1}\bruch{1}{n^{2}}
[/mm]
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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Wenn ich jetzt schon festgestellt habe, dass eine Reihe absolut konvergiert, so muss ich ja nicht mehr extra darauf testen, ob sie auch "einfach" konvergiert, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:25 Mo 10.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo MuhKuh!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Gruß
Loddar
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