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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \vektor{4k\\3k}^{-1}(absolut) [/mm] konvergiert. |
Hi an euch alle,
ich weiß nicht ob ich die Aufgabe so lösen darf oder ich auf dem komplett falschen weg bin.
Also ich habe zuerst das Quotientenkriterium angewendet [mm] (\summe_{k=0}^{\infty} a_{k} [/mm] konvergiert absolut, wenn es ein q [mm] \in \IR [/mm] mit 0 [mm] \le [/mm] q<1 gibt, so dass: | [mm] \bruch {a_{n+1}}{a_{n}}| \le [/mm] q für fast alle n [mm] \in \IN).
[/mm]
so nun hatte ich nach ein wenig umstellen die formel: [mm] \bruch {((k+1)!)^{2}(2k)!}{(2k+2)!(k!)^{2}}. [/mm] so nun habe ich die fakultäten anders geschrieben uns nen bisschen gekürzt (was eig auch richtig sein müsste da ich das mit verschiedenen k´s ausprobiert habe). übrig blieb: [mm] \bruch{(3k+1)(3k+2)(3k+3)}{(4k+1)(4k+2)(4k+3)*4}
[/mm]
durch ausmultiplizieren und ausklammern und kürzen von [mm] k^{3} [/mm] kam ich auf: [mm] \bruch{27+\bruch{63}{k} + \bruch{42}{k^{2}} + \bruch{8}{k^{3}}}{256 + \bruch{448}{k} + \bruch{208}{k^{2}} + \bruch{32}{k^7}}
[/mm]
so und nun kommt meine frage: darf ich jetzt einfach die grenzwerte vom nenner und vom zähler jeweils für k gegen [mm] \infty [/mm] bestimmen, was ja beim zähler 27 und beim nenner 256 wäre und dann ist der grenzwert vom gesamten: [mm] \bruch{27}{256} [/mm] und daraus schlussfolgere ich, dass das das gesuchte q ist, da [mm] \bruch{27}{256} [/mm] < 1 ???
wäre total nett wenn ihr mir da irgendwie weiter helfen könnt.
Liebe Grüße
MatheMäxchen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:57 Mi 09.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi und willkommen hier!
Ich komme auf $ [mm] \bruch{(3k+1)(3k+2)(3k+3)k}{(4k+1)(4k+2)(4k+3)(4k+4)}=\bruch{(3k+1)(3k+2)3k}{(4k+1)(4k+2)(4k+3)4} [/mm] $, aber es läuft ja aufs Gleiche hinaus. Ja, du darfst dann einfach den Grenzwert mit n [mm] \to \infty [/mm] bilden und schauen, ob da was rauskommt, was kleiner als 1 ist.
Denn dann weißt du, dass unendlich viele Folgenglieder dieses Bruches in einer Epsilonumgebung einer Zahl liegen, die kleiner als 1 ist, also sind diese Folgenglieder auch alle <1.
Damit ist der Bruch für fast alle n kleiner als 1 und die Reihe konvergiert.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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Ok vielen Dank für die schnelle Antwort!
Liebe Grüße
MatheMäxchen
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