Konvergenzkriterien < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:31 Di 27.04.2010 | | Autor: | zocca21 |
| Aufgabe | Konvergieren folgende Reihen:
1) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^n}{n+1} [/mm] + [mm] (\bruch{2}{3})^n
[/mm]
2) [mm] \summe_{j=3}^{\infty} \bruch{j+2}{j^2 - 4}
[/mm]
3) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{3^n}{n!} [/mm] |
Erstmal meine Frage:
wann weiß ich wenn ich quotienten,wurzel,majoranten,minorantenkriterium verwenden kann..
1) Der erste Teil ist ja alternierend... Ist es dann aufjedenfall leibnitz und konvergierend?
2) Hier scheint mir Majoranten/Minorantenkriterium zu sein.
Ist folgende Aussage richtig, dass wenn ich eine konvergente Folge habe die größer ist als meine Folge, ist meine Folge auch konvergent...und wenn sie kleiner ist divergent? Habe dies noch nicht ganz durchschaut.
3) Quotientenregel:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{3^n}{n!} [/mm] =
[mm] \bruch{(3^n+1)(n!)}{(n!+1)(3^n)} [/mm] > 1 => divergent?
Das n+1 muss beides "Hoch" sein..leider bekomm ich die +1 visuell nicht hoch..
Schon mal Vielen Dank für die Hilfe! Vielleicht könnt ihr mir kleine Tricks verraten..Vorallem weiß ich nicht so wirklich wie ich vorgehe außer beim Quotientenkriterium..
Lieber Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:42 Di 27.04.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo zocca!
Bei der 1. Reihe solltest Du zunächst in zwei Teilreihen zerlegen und diese separat untersuchen:
[mm] $$\summe_{n=1}^{\infty}\left[\bruch{(-1)^n}{n+1} + \left(\bruch{2}{3}\right)^n\right] [/mm] \ = \ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{n+1} [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \left(\bruch{2}{3}\right)^n$$
[/mm]
Ja, Du hast Recht: für die erste Teilreihe bietet sich der Herr Leibniz (ohne "t", schließlich verkauft er keine Kekse!) an.
Die zweite Teilreihe lässt sich sowohl lösen mittels Wurzelkriterium oder Quotientenkriterium oder dem (bereits bekannten?) Wissen über geometrische Reihen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:36 Di 27.04.2010 | | Autor: | zocca21 |
OK:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\left[\bruch{(-1)^n}{n+1} + \left(\bruch{2}{3}\right)^n\right] [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{n+1} [/mm] + [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \left(\bruch{2}{3}\right)^n
[/mm]
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \left(\bruch{2}{3}\right)^n
[/mm]
Veruschen wir mal das Wurzelkriterium:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{(2/3)^n} [/mm] ?
Die Teilfolge muss ja eigentlich gegen 2 gehen oder..habs mal nachgerechnet mit Taschenrechner..
Aber nach dem Kriterium würde dann ja nach auflösen folgendes dastehen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(2/3)? [/mm]
Danke nochmal!
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Hallo,
> OK:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\left[\bruch{(-1)^n}{n+1} + \left(\bruch{2}{3}\right)^n\right][/mm]
> = [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{n+1}[/mm] +
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \left(\bruch{2}{3}\right)^n[/mm]
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \left(\bruch{2}{3}\right)^n[/mm]
>
> Veruschen wir mal das Wurzelkriterium:
Was willst du mit dem Wurzelkriterium machen - Veruschen? 
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{(2/3)^n}[/mm] ?
> Die Teilfolge muss ja eigentlich gegen 2 gehen oder..habs
> mal nachgerechnet mit Taschenrechner..
Was hast du nachgerechnet? Die Folge [mm] \sqrt[n]{a_{n}} [/mm] geht gegen das, was unten steht - 2/3 !
> Aber nach dem Kriterium würde dann ja nach auflösen
> folgendes dastehen:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(2/3)?[/mm]
Genau. Wir bekommen also:
[mm] $\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_{n}} [/mm] = [mm] \lim_{n\to\infty} [/mm] 2/3 = 2/3 < 1,$
d.h. die Reihe konv. nach dem Wurzelkriterium.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:03 Di 27.04.2010 | | Autor: | zocca21 |
Hab mir da mal folgendes überlegt:
Summe [mm] \bruch{(j+2)}{(j+2)(j-2)}
[/mm]
Ich dachte ich kann nun kürzen, da ich nun 3 Produkte habe...Oder ist das auch hier nicht möglich? Es ist ja keine Summe.
Dann hätte ich:
[mm] \summe_{j=3}^{n} \bruch{1}{j-2}
[/mm]
Nun weiß man ja, dass die
[mm] \summe_{j=3}^{n} \bruch{1}{j} [/mm] divergent ist und kleiner als die obere..also ist die Summe aus der Aufgabe auch divergent
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Hallo,
> Hab mir da mal folgendes überlegt:
>
> Summe [mm]\bruch{(j+2)}{(j+2)(j-2)}[/mm]
>
> Ich dachte ich kann nun kürzen, da ich nun 3 Produkte
> habe...Oder ist das auch hier nicht möglich? Es ist ja
> keine Summe.
>
> Dann hätte ich:
>
> [mm]\summe_{j=3}^{n} \bruch{1}{j-2}[/mm]
>
> Nun weiß man ja, dass die
>
> [mm]\summe_{j=3}^{n} \bruch{1}{j}[/mm] divergent ist und kleiner als
> die obere..also ist die Summe aus der Aufgabe auch
> divergent
Genau!
Da [mm] $\frac{1}{j} [/mm] < [mm] \frac{1}{j-2}$ [/mm] für alle [mm] $j\in\IN$ [/mm] und [mm] \sum_{j=3}^{\infty}\frac{1}{j} [/mm] divergent ist (harmonische Reihe), folgt nach dem Minorantenkriterium (wir haben eine divergente "Minorante" unserer Reihe gefunden) die Divergenz der Reihe [mm] $\sum_{j=3}^{\infty}\frac{1}{j-2}$.
[/mm]
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:53 Di 27.04.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo zocca!
> 3) Quotientenregel:
Du meinst das Quotientenkriterium.
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{3^n}{n!}[/mm] =
Uuh! Weg mit dem Gleichheitszeichen hier!
> [mm]\bruch{(3^n+1)(n!)}{(n!+1)(3^n)}[/mm] > 1 => divergent?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Du hast nicht korrekt eingesetzt:
[mm] $$\left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right| [/mm] \ = \ [mm] \left|\bruch{\bruch{3^{n+1}}{(n+1)!}}{\bruch{3^n}{n!}}\right| [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3^{n+1}*n!}{(n+1)!*3^n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3^n*3^1*n!}{n!*(n+1)*3^n} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:41 Di 27.04.2010 | | Autor: | zocca21 |
> [mm]\left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right| \ = \ \left|\bruch{\bruch{3^{n+1}}{(n+1)!}}{\bruch{3^n}{n!}}\right| \ = \ \bruch{3^{n+1}*n!}{(n+1)!*3^n} \ = \ \bruch{3^n*3^1*n!}{n!*(n+1)*3^n} \ = \ ...[/mm]
Gut, dann sollte ja der Nenner schneller steigen als der Zähler, da (n+1) schneller steigt als 3..für höhere Zahlen...
also wäre es kleiner als 1..und somit Konvergent?
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Hallo,
> > [mm]\left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right| \ = \ \left|\bruch{\bruch{3^{n+1}}{(n+1)!}}{\bruch{3^n}{n!}}\right| \ = \ \bruch{3^{n+1}*n!}{(n+1)!*3^n} \ = \ \bruch{3^n*3^1*n!}{n!*(n+1)*3^n} \ = \ ...[/mm]
>
> Gut, dann sollte ja der Nenner schneller steigen als der
> Zähler, da (n+1) schneller steigt als 3..für höhere
> Zahlen...
>
> also wäre es kleiner als 1..und somit Konvergent?
Ja. Genauer:
Da es [mm] N\in\IN [/mm] (nämlich N = 5) gibt, so dass [mm] $\left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right| [/mm] < q := [mm] \frac{1}{2} [/mm] < 1$ für alle $n> N$, konv. die Reihe nach dem Quotientenkriterium.
(Die Wahl von [mm] $q:=\frac{1}{2}$ [/mm] erfolgte völlig willkürlich - ich hätte jeden anderen Wert zwischen 0 und 1 für q nehmen können - Da, wie du gezeigt hast, [mm] \left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right| [/mm] ohnehin eine Nullfolge ist, bekommen wir immer ein geeignetes N für jedes q mit 0 < q < 1.
Grüße,
Stefan
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Zuvor solltest Du aber den Bruch erst noch zusammenfassen und kürzen (denke im Nenner mal an eine binomische Formel).
