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Hallo zusammen,
folgende Aufgabe habe ich vorliegen:
Konvergiert die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{ \infty} \bruch{(n^2+1)}{2^{n}}[/mm]?
Ich habe bei den Übungen festgestellt, dass ich mit der angehensweise an eine solche Aufgabe Probleme bzw Zweifel an der Richtigkeit habe.
Zunächst habe ich auf Anhieb drei Kriterien, die womöglich passen könnten. Leibnizkriterium, Wurzelkriterium, Quotientenkriterium.. Das Leibnizkriterium fällt bei genauerem hinsehen weg, da [mm]a_n[/mm] keine Nullfolge ist.
Bleiben, das Wurzelkriterium und das Quotientenkriterium. Bei beiden Kriterien wird ein [mm]x \in \IR[/mm] mit 0 < x < 1 gesucht. (Beim Wurzelkriterium laut Skript noch ein [mm]C \in \IR[/mm]. Wobei die Bedeutung von [mm]C \in \IR[/mm] nicht wirklich nachvollziehen kann!?)
Nun gehe ich hin und nehme den Wert 0,5 und setze Ihn ein..
Wurzelkriterium
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[0,5]{ \bruch{(0,5^2+1)}{2^{0,5}}}[/mm] = 0,7812
Quotientenkriterium
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(0,5^2+1)}{2^{0,5}}[/mm] = 0,8838..
Ergebnis ist, dass [mm]a_n [/mm] absolut konvergent ist wegen dem Wurzelkriterium und dem Quotientenkriterium.
Was sagt Ihr dazu? Bin ich richtig vorgegangen bzw habe ich richtig gerechnet?
Kann man das vereinfachen?
Danke und Gruss
Fruchtsaft
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Hi
Ich fürchte du hast da was ganz falsch verstanden.
Zum Leibnizkriterium, du kannst es nicht anwendne, genau, aber nicht weil an keine Nullfolge ist, sondern weil sie keine alternierende Nullfolge ist. Wäre an keine Nullfolge dann könntest du gleich aufhören.
Zu den Kriterien
guck dir mal den Link genau an, da wirst du feststellen, daß du nicht einfach irgendeinen Wert einsetzen kannst, sondern, daß es für alle n gelten muß:  Konvergenzkriterium
So, zu deiner Folge:
Probieren wir es mit dem Quotientenkriterium
| [mm] \bruch{\bruch{(n+1)^{2} + 1}{2^{n+1}}}{\bruch{n^{2}+1}{2^{n}}} [/mm] |
da kannst du durch kürzen auf die Form:
| [mm] \bruch{n^{2}+2n+3}{2(n^{2}+1)}| [/mm] bringen
Du siehst ,das bringt nichts, also mußt du was anderes probieren.
Für gewöhnlich ist es so, dass wenn das eine Kriterium versagt, daß andere (das Wurzelkriterium) auch nicht hilft, also mußt du was anderes versuchen.
Versuch es doch mal mit dem Majorantenkriterium
Du könntest das Wurzelkriterium ganz leicht auf [mm] \bruch{n^{3}}{2^{n}}
[/mm]
anwenden und das dann als Majorante benutzen.
Ich hoffe es hilft dir
Lg
Britta
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Hallo,
da wurde ich ja schnell durchgereicht..  Aber so ganz klar ist mir das noch nicht...
Zunächst einmal, kannst du nochmal Teilschritte aufzeigen, wie du beim Quotientenkriterium auf das Ergebnis $ [mm] \bruch{n^{2}+2n+3}{2(n^{2}+1)}| [/mm] $ gekommen bist?
Und wenn ich jetzt das Wurzelkriterium nutze.
Also [mm] \wurzel{\bruch{(n^3+1^n)}{2^{n^2}} } = \bruch{(n^3)}{2^{n} [/mm]
Wie sieht das denn jetzt mit dem Majorantenkriterium aus?
Mein Vorschlag:
[mm]\bruch{(n^2+1)}{2^{n}} < \bruch{(n^2)}{2^{n}+n}[/mm]
Und da [mm] \bruch{(n^2)+1}{2^{n}+n}[/mm] konvergiert, konvergiert [mm]\bruch{(n^2+1)}{2^{n}}[/mm] erst recht...
Und ist da so schon besser?
Danke und Gruss
Fruchtsaft
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Hallo Fruchtsaft,
> da wurde ich ja schnell durchgereicht.. Aber so ganz
> klar ist mir das noch nicht...
>
> Zunächst einmal, kannst du nochmal Teilschritte aufzeigen,
> wie du beim Quotientenkriterium auf das Ergebnis
> [mm]\bruch{n^{2}+2n+3}{2(n^{2}+1)}|[/mm] gekommen bist?
[mm]
\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \;\left| {\frac{{a_{n + 1} }}
{{a_n }}} \right|\; = \;\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \;\left| {\frac{{\left( {\left( {n\; + \;1} \right)^2 \; + \;1} \right)}}
{{2^{n + 1} }}\;\frac{{2^n }}
{{n^2 \; + \;1}}} \right|\; = \;\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \;\left| {\frac{{n^2 \; + \;2\;n + \;2}}
{{2\;\left( {n^2 \; + \;1} \right)}}} \right|[/mm]
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:55 Sa 24.09.2005 | | Autor: | Herby |
Hi Fruchtaft,
> Und wenn ich jetzt das Wurzelkriterium nutze.
> Also [mm]\wurzel{\bruch{(n^3+1^n)}{2^{n^2}} } = \bruch{(n^3)}{2^{n}[/mm]
>
> Wie sieht das denn jetzt mit dem Majorantenkriterium aus?
> Mein Vorschlag:
> [mm]\bruch{(n^2+1)}{2^{n}} < \bruch{(n^2)}{2^{n}+n}[/mm]
Wieso ist die linke Seite kleiner??? ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
> Und da [mm]\bruch{(n^2)+1}{2^{n}+n}[/mm] konvergiert, konvergiert
> [mm]\bruch{(n^2+1)}{2^{n}}[/mm] erst recht...
>
Gruß
Herby
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Hallo,
Danke für die Hinweise.
Wenn ich also das Quotientenkriterium, wie Herby rechnen würde, hätte ich den Konvergenzbeweis schon mit dem Quotientenkriterium erbracht, oder?
Bei meinem Beweis mit dem Majorantenkriterium, habe ich das < mit > vertauscht..
Aber wenn man das ganze nun sinnig drehen würde, wäre der Beweis dann korrekt?
Gruss
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:56 So 25.09.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Fruchtsaft!
> Wenn ich also das Quotientenkriterium, wie Herby rechnen
> würde, hätte ich den Konvergenzbeweis schon mit dem
> Quotientenkriterium erbracht, oder?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Ganz genau ...
> Bei meinem Beweis mit dem Majorantenkriterium, habe ich das
> < mit > vertauscht..
>
> Aber wenn man das ganze nun sinnig drehen würde, wäre der
> Beweis dann korrekt?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Nein! Du musst ja für den Nachweis der Konvergenz gegen etwas größeres abschätzen, von dem bekannt ist, dass die entsprechende Reihe konvergiert.
Wenn Du nun aber in Deinem Nachweis das Ungleichheitszeichen umdrehst, schätzt Du ja unsere zu untersuchenden Reihe nach unten ab, was uns nicht weiterhilft!
Daher wurde ja hier z.B. die Folgen [mm] $\bruch{n^3}{2^n}$ [/mm] genannt, bei der man schnell mit dem Wurzelkriterium die Konvergenz zeigen kann:
[mm] $\limes_{n\rightarrow \infty}\wurzel[n]{\bruch{n^3}{2^n}} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow \infty}\bruch{\wurzel[n]{n^3}}{\wurzel[n]{2^n}} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow \infty}\bruch{\left(\wurzel[n]{n}\right)^3}{2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1^3}{2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2} [/mm] \ < \ 1$
Wenn Du also gegen diese Reihe abschätzt, bist Du schnell fertig ...
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:06 So 25.09.2005 | | Autor: | Fruchtsaft |
Danke für die Hilfe..
Das Ganze ist mir insgesamt was klarer geworden. Nun heisst es noch üben, üben, üben..
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:43 Sa 24.09.2005 | | Autor: | Herby |
Nochmal Hi,
> Hallo,
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> da wurde ich ja schnell durchgereicht.. Aber so ganz
> klar ist mir das noch nicht...
>
> Zunächst einmal, kannst du nochmal Teilschritte aufzeigen,
> wie du beim Quotientenkriterium auf das Ergebnis
> [mm]\bruch{n^{2}+2n+3}{2(n^{2}+1)}|[/mm] gekommen bist?
Die Frage wurde ja schon beantwortet...
Also ich würde hier folgendermaßen weitermachen
[mm] \bruch{n^{2}+2n+3}{2(n^{2}+1)}
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \bruch{n^{2}+2n+3}{2n^{2}+2}
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \bruch{n^{2}(1+\bruch{2}{n}+\bruch{3}{n^{2}})}{n^{2}(2+\bruch{2}{n^{2}})}
[/mm]
nu kannst du das [mm] n^{2} [/mm] kürzen und danach [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] laufen lassen. Das ergibt den Grenzwert von [mm] \bruch{1}{2} [/mm] - wenn mich nicht alles täuscht
Gruß
Herby
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