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Hallo,
ich habe eine Frage zu den Konvergenzkriterien. Die Aufgabe lautet:
Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \wurzel{\bruch{n}{n+1}}
[/mm]
Hier habe ich das Quotientenkriterium angewandt und habe nach irgendwann folgendes stehen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{\bruch{n+1}{n+2}}{\bruch{n}{n+1}}|
[/mm]
Kann ich hier einfach sagen, dass das Ergebnis >1 sein muss, weil der Zähler größer ist als der Nenner, oder muss ich noch weiterrechnen?
Dann habe ich noch eine Frage zu folgender Aufgabe:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}(\wurzel{n+1}-\wurzel{n})
[/mm]
Wie gehe ich bei dieser Aufgabe vor, welches Kriterium muss ich hier benutzen?
Würde mich sehr über eure Hilfe freuen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:11 So 18.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu 1 such ne divergierende Minorante.
zu 2 der Trick bei Differenzen von Wurzeln ist immer mit der Summe erweitern (3. bin. formel)
Gruss leduart
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Danke für die schnelle Antwort!
Wie mach ich das denn bei Aufgabe 1? Könnte ich einen Ansatz bekommen?
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Hallo,
bedenke, dass [mm] $\sqrt{a}\ge [/mm] a$ für [mm] $0\le a\le1$ [/mm] und versuche dann gegen eine bekannte divergente Reihe abzuschätzen.
Gruß Patrick
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Hatte es zuvor mit dem Quotientenkriterium versucht, dort kommt allerdings 1 raus. Wie funktioniert das genau mit dem Majorantenkriterium? Ich brauche ja eine bekannte Reihe, die größer ist und konvergiert.
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Wogegen konvergiert denn [mm] \sqrt{\bruch{n}{n+1}} [/mm] ?
Wogegen muss [mm] a_n [/mm] notwendigerweise konvergieren, damit [mm] \summe a_n [/mm] überhaupt konvergieren kann?
MFG,
Gono.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:32 Di 20.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
DIE divergente Reihe, die du kennst ist [mm] \summe_{i=1}^{n}1/an, [/mm] a fest
die benutzt man fast immer als Minorante, wenn also ab einem [mm] n_0 [/mm] alle Summenglieder >1/an sind divergiert die Reihe.
als Majorante benutzt man a) die geometrische Reihe und b) [mm] \summe_{i=1}^{n}1/n^{\alpha} [/mm] mit [mm] \alpha>1, [/mm] nachdem man deren Konvergenz (meist in der Vorlesung) bewiesen hat.
Wenn alle summanden einer Reihe ab einem [mm] n_0 [/mm] kleiner sind als eine der kovergierenden Reihen, konvegiert di kleinere auch.
Gruss leduart
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