Konvergenzkriterien für Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:19 Do 27.11.2014 | | Autor: | arraneo |
Hallo zusammen !
Meine Aufgabe ist einige Reihen auf Konvergenz zu prüfen und bei einigen habe ich schon ein paar Probleme und weiß nicht wie ich voran kommen könnte.
i) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \frac{\wurzel{n+1}-\wurzel{n}}{\wurzel{n}}
[/mm]
hier ist die Frage ob das Quetientenkriterium hilft? denn ich komme gar nicht weiter und vielleicht gibt es da einen anderen Weg... ?
also, es heißt bei mir:
[mm] \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\wurzel{n+2}-\wurzel{n+1}}{\wurzel{n+1}}\frac{\wurzel{n}}{\wurzel{n+1}-\wurzel{n}}=\frac{\wurzel{n(n+2)}-\wurzel{n(n+1}}{n+1-\wurzel{n(n+1)}}=\frac{[(n+1)+\wurzel{n(n+1)}][\wurzel{n(n+2)}-\wurzel{n(n+1)}]}{(n+1)^2-n(n+1)}
[/mm]
Nach der Ausmultiplizieren erhalte ich dann :
[mm] \frac{(n+1)[\wurzel{n}(\wurzel{n+2}-\wurzel{n+1})-n] +n\wurzel{(n+1)(n+2)}}{n+1} [/mm]
Hätte jemanden bitte eine Idee wie ich hier weiter komme , oder wenn es einen anderen Weg gäbe, bitte mir das empfehlen :)
vielen Dank !
arraneo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:35 Do 27.11.2014 | | Autor: | fred97 |
Mit dem Quotientenkriterium kommst Du zu keiner Entscheidung
Sei [mm] a_n:=\frac{\wurzel{n+1}-\wurzel{n}}{\wurzel{n}} [/mm]
Erweitere mit [mm] \wurzel{n+1}+\wurzel{n} [/mm] und Du bekommst
[mm] a_n=\frac{1}{\wurzel{n^2+n}+n} [/mm]
Weiter ist [mm] n^2+n \le n^2+3n^2=4n^2
[/mm]
Hilft das ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Do 27.11.2014 | | Autor: | arraneo |
Hey Fred!
Danke , JA, das hilft. Also dann wäre das die Geometrische Reihe mal 1/4 , die abs. konvergiert und Majorant für meine Reihe wäre :D
super !
Ich hätte leider noch ein paar Reihen, die ich nicht 'auf die Reihe' kriege :)
iii) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} n^3x^n [/mm] , wobei |x|< 1 ist.
wo ich wieder QK ausprobiert habe und komme auf:
[mm] Q:=\frac{a_{n+1}}{a_n}= \frac{(n+1)^3x}{n^3} \le \frac{(n+n)^3x}{n^3}=8x [/mm]
Sei also x:= [mm] \frac{1}{y} [/mm] mit [mm] y\in [/mm] Z , dann damit [mm] Q\le\theta<1 [/mm] stimmt, muss y>8 sein, was mir aber wenig bringt..
Ich kann aber leider keinen besseren Majorant finden, irgendwie.. :(
danke !
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:55 Do 27.11.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich seh da keine geometrische Reihe, wie kommst du daraufß mach mal die Abschätzung für das Ganze gertig!
beim nächsten würde ich das Wurzlkriterium, bzw, den Konvergenzradius über die nte Wurzel bestimmen.
Gruß leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:17 Do 27.11.2014 | | Autor: | arraneo |
achso ja, danke!
Also bei der Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\frac{\wurzel{n+1}-\wurzel{n}}{\wurzel{n}} [/mm] :
Sei [mm] a_n:= \frac{\wurzel{n+1}-\wurzel{n}}{\wurzel{n}} [/mm] , die wir dann wie Fred meinte durch : [mm] \wurzel{n+1}+\wurzel{n} [/mm] erweitern und somit erhalten:
[mm] a_n=\frac{1}{\wurzel{n^2+n}+n} [/mm]
Weiterhin gilt aber:
[mm] n^2+n\le n^2+3n^2=4n^2 [/mm] . Sei also [mm] b_n:= \frac{1}{4n^2}
[/mm]
Da die Reihe [mm] :\summe_{n=1}^{\infty}b_n= \summe_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4n^2}=\frac{1}{4} \summe_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} [/mm] = [mm] \frac{1}{4} \frac{\pi^2}{6}=\frac{\pi^2}{24} [/mm] offensichtlich konvergiert und es gilt:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_n \le \summe_{n=1}^{\infty} b_n [/mm] ,
konvergiert nach dem Majorantenkriterum auch [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_n. [/mm]
:)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:22 Do 27.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> achso ja, danke!
>
> Also bei der Reihe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\frac{\wurzel{n+1}-\wurzel{n}}{\wurzel{n}}[/mm]
> :
>
> Sei [mm]a_n:= \frac{\wurzel{n+1}-\wurzel{n}}{\wurzel{n}}[/mm] , die
> wir dann wie Fred meinte durch : [mm]\wurzel{n+1}+\wurzel{n}[/mm]
> erweitern und somit erhalten:
>
> [mm]a_n=\frac{1}{\wurzel{n^2+n}+n}[/mm]
>
> Weiterhin gilt aber:
>
> [mm]n^2+n\le n^2+3n^2=4n^2[/mm] . Sei also [mm]b_n:= \frac{1}{4n^2}[/mm]
>
> Da die Reihe [mm]:\summe_{n=1}^{\infty}b_n= \summe_{n=1}^{\infty} \frac{1}{4n^2}=\frac{1}{4} \summe_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}[/mm]
> = [mm]\frac{1}{4} \frac{\pi^2}{6}=\frac{\pi^2}{24}[/mm]
> offensichtlich konvergiert und es gilt:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_n \le \summe_{n=1}^{\infty} b_n[/mm] ,
>
> konvergiert nach dem Majorantenkriterum auch
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_n.[/mm]
>
> :)
Nein. Das hast Du gründlich vergeigt ! Mit meinen Tipps:
[mm] a_n \ge \bruch{1}{2n}
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 Do 27.11.2014 | | Autor: | arraneo |
achso das stimmt, denn die umgekehrte Ungleichung hilft dann gar nicht, also ich verstehe deine Tipps nicht :(
wie soll mir jetzt dieses : [mm] a_n\ge [/mm] 1/2n helfen? ich bräuchte doch was größeres als [mm] a_n, [/mm] was konvergiert , nicht umgekehrt, oder?
danke,
arraneo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:57 Do 27.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> achso das stimmt, denn die umgekehrte Ungleichung hilft
> dann gar nicht, also ich verstehe deine Tipps nicht :(
>
> wie soll mir jetzt dieses : [mm]a_n\ge[/mm] 1/2n helfen? ich
> bräuchte doch was größeres als [mm]a_n,[/mm] was konvergiert ,
> nicht umgekehrt, oder?
Offenbar willst Du auf Biegen und Brechen, dass die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] konvergiert.
Man mag es bedauern und Du kannst im Handstand La Paloma pupsen, aber es hilft nicht:
die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] divergiert.
Denn [mm] a_n \ge \bruch{1}{2n} [/mm] und [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{2n} [/mm] ist divergent.
FRED
>
> danke,
> arraneo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:04 Do 27.11.2014 | | Autor: | arraneo |
HAHAHHAHA !!! genial..
alles klar, keine Ahnung wie ich das nicht von vorne rein gesehen hab !!
danke Dir !
LG,
arraneo
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