Konvergenzkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:59 Di 02.02.2010 | | Autor: | squeedi |
| Aufgabe | Zeigen Sie: Die folgende Reihe erfüllt nicht das (bekannte) notwendige Konvergenzkriterium und ist somit divergent.
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{n+1}{n})^{-n} [/mm] |
Hallo liebe Helfer!
Hier mein Ansatz zu der Aufgabe:
1. Anwendung des Quotientenkrit.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{(\bruch{n+1}{n})^{-n}} [/mm]
(das -n soll Exponent der Klammer sein! Ich weiß leider nicht wie man große/dem Term angepasste Klammern hier eingeben kann, dann würde es deutlicher sein)
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n}{n+1}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{1+\bruch{1}{n}}
[/mm]
= 1
So, nun will aber die Aufgabe, dass ich nachweise die Reihe sei divergent.
Aber mit q = 1 versagt das Kriterium ja leider, also vermute ich mal ich hab einen Fehler gemacht.
Gruß Christian
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:07 Di 02.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie: Die folgende Reihe erfüllt nicht das
> (bekannte) notwendige Konvergenzkriterium und ist somit
> divergent.
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{n+1}{n})^{-n}[/mm]
> Hallo liebe
> Helfer!
>
> Hier mein Ansatz zu der Aufgabe:
>
> 1. Anwendung des Quotientenkrit.
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{(\bruch{n+1}{n})^{-n}}[/mm]
>
> (das -n soll Exponent der Klammer sein! Ich weiß leider
> nicht wie man große/dem Term angepasste Klammern hier
> eingeben kann, dann würde es deutlicher sein)
>
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n}{n+1}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{1+\bruch{1}{n}}[/mm]
>
> = 1
>
> So, nun will aber die Aufgabe, dass ich nachweise die Reihe
> sei divergent.
> Aber mit q = 1 versagt das Kriterium ja leider, also
> vermute ich mal ich hab einen Fehler gemacht.
So ist es ! Das (bekannte) notwendige Konvergenzkriterium ist doch nicht das Wurzelkriterium, sondern lautet so:
Ist [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] konvergent, so ist [mm] (a_n) [/mm] eine Nullfolge.
zeige also, dass bei obiger Reihe die Folge [mm] (a_n) [/mm] keine Nullfolge ist
FRED
>
> Gruß Christian
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 Di 02.02.2010 | | Autor: | squeedi |
Erstmal Danke fred97 für den Hinweis mit dem Kriterium.
Wenn man mal ignoriert, dass ich hier das Quotientenkriterium angewandt habe, sondern davon ausgeht, dass ich einfach die nte-Wurzel genommen habe um das -n als Exponent zu eliminieren, dann bekomme ich ja immernoch 1 als Ergebnis.
Ist das denn die richtige Lösung? Das ergebnis ist ja > 0
Gruß Christian
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Hallo Christian,
> Erstmal Danke fred97 für den Hinweis mit dem Kriterium.
>
> Wenn man mal ignoriert, dass ich hier das
> Quotientenkriterium angewandt habe, sondern davon ausgeht,
> dass ich einfach die nte-Wurzel genommen habe um das -n als
> Exponent zu eliminieren, dann bekomme ich ja immernoch 1
> als Ergebnis.
Ja, und das sagt dir nix über Konvergenz oder Divergenz.
Wenn QK oder WK als GW die 1 liefern, bist du aufgeschmissen.
Du hast mit diesen beiden Kriterien lediglich Aussagen für GW<1 --> (absolute) Konvergenz bzw. für GW>1 --> Divergenz
Falls GW=1 ist, kann Konvergenz oder Divergenz vorliegen.
Da musst du dir anders behelfen.
ZB. wie hier mit dem Trivialkriterium.
Das ist hier offensichtlich verletzt?
Wieso?
Das und nichts anderes sollst du zeigen.
Fred hat es ja deutlichst geschrieben ...
>
> Ist das denn die richtige Lösung? Das ergebnis ist ja > 0
>
> Gruß Christian
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 Di 02.02.2010 | | Autor: | squeedi |
Ok, ich glaube ich habs.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{n+1}{n})^{-n}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{(\bruch{n+1}{n})^{n}}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{(1+\bruch{1}{n})^{n}}
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{e}
[/mm]
[mm] \not= [/mm] 0
So müsste es passen.
Was mich nur wurmt, mein vorheriger Rechenweg war ja auch nur eine Möglichkeit den Term zu kürzen, jedoch mit einem völlig anderem Ergebnis. Ich sehe aber keinen Rechenfehler :/
Und noch eine Frage hab ich. Gibt es hier die Möglichkeit Klammern größer anzeigen zu lassen? So dass die wirklich einen ganzen Bruch einklammern?
Danke nochmals für Eure Hilfe
Gruß Christian
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:05 Di 02.02.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Christian!
> Ok, ich glaube ich habs.
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (\bruch{n+1}{n})^{-n}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{(\bruch{n+1}{n})^{n}}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{(1+\bruch{1}{n})^{n}}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{e}[/mm]
>
> [mm]\not=[/mm] 0
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Was mich nur wurmt, mein vorheriger Rechenweg war ja auch
> nur eine Möglichkeit den Term zu kürzen, jedoch mit einem
> völlig anderem Ergebnis. Ich sehe aber keinen Rechenfehler :/
Wie oben bereits geschrieben wurde: wenn Quotientenkriterium oder Wurzelkriterium den Wert $1_$ liefern, ist keine Aussage über die Reihenkonvergenz möglich.
> Und noch eine Frage hab ich. Gibt es hier die Möglichkeit
> Klammern größer anzeigen zu lassen? So dass die wirklich
> einen ganzen Bruch einklammern?
Ja, (siehe auch hier).
Schreibe "\left(\bruch{3}{4}\right)" für [mm] $\left(\bruch{3}{4}\right)$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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