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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:10 Di 20.07.2010 | | Autor: | techi |
| Aufgabe | | Untersuchen Sie die Konvergenzordnung des Newton-Verfahrens zur Lösung von (x - [mm] 1)^{5} [/mm] = 0. Hinweis: exakte formelmäßige Rechnung! |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Meim Lösungsversuch:
Konvergenzbedingung:
| [mm] \bruch{f(x)*f''(x)}{[f'x)]^{2}} [/mm] | < 1
Ableitungen bilden:
f(x) = (x - [mm] 1)^{5}
[/mm]
f'(x) = 5(x - [mm] 1)^{4}
[/mm]
f''(x) = 20(x - [mm] 1)^{3}
[/mm]
Die Nullstelle dieser Aufgabe liegt bei x = 1.
Ich kann für meine Untersuchung also x = 0 oder x = 2 wählen.
Ich wähle x = 0:
f(0) = -1
f'(0) = 5
f''(0) = -20
Einsetzen in die Konvergenzbedingung:
| [mm] \bruch{-1*-20}{5^{2}} [/mm] | = [mm] \bruch{20}{25} [/mm] = [mm] \bruch{4}{5}
[/mm]
Somit:
[mm] \bruch{4}{5} [/mm] < 1
Das Newton Verfahren zur Lösung von (x - [mm] 1)^{5} [/mm] konvergiert.
Ist die Lösung korrekt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:21 Di 20.07.2010 | | Autor: | MontBlanc |
Hallo,
du hast aber noch keine Aussage über die Konvergenzordnung getroffen... Wie du das untersuchst, weißt du ?
Betrachte die Ableitungen der newtonschen Form, also von an den Nullstellen deiner Funktion [mm] x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}
[/mm]
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:29 Di 20.07.2010 | | Autor: | techi |
Leider weiss ich ab hier nichtmehr, wie ich weiter rechnen muss/soll. Könntest du mir das zeigen?
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:36 Mi 21.07.2010 | | Autor: | techi |
Nach dem Hinweis haben wir heute ein wenig weiter 'gespielt' und haben dabei folgendes berechnet:
Lineare Konvergenzgeschwindigkeit ist definiert als:
|| [mm] x_{n+1} [/mm] - x || [mm] \le [/mm] c|| [mm] x_{n} [/mm] - x ||
Wenn ein c mit "0<c<1" existiert.
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Auf uns umgesetzt, bedeutet das (Durch Anwendung des Newton verfahrens berechnet):
x0 = 0
x1 = 1/5
|| [mm] \bruch{1}{5} [/mm] - x || [mm] \le [/mm] c|| 0 - x ||
Meine Frage ist, was wir hier als x einsetzen müssen? Wikipedia spricht hier von der Grenze.
Ich wähle nun x = 1 weil sich hier die Nullstelle befindet:
|| [mm] \bruch{1}{5} [/mm] - 1 || [mm] \le [/mm] c|| 0 - 1 ||
wird zu :
[mm] \bruch{4}{5} \le [/mm] c1 [mm] \approx [/mm] 0,8 [mm] \le [/mm] c*1
Wähle ich nun c > 0,8 ist die Gleichung erfüllt, somit konvergiert das Newton Verfahren für (x - [mm] 1)^{5} [/mm] linear.
Ist meine gewählte Grenze richtig? Ist mein vorgehen richtig? Vielen Dank im vorraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:48 Mi 21.07.2010 | | Autor: | fred97 |
Lies Dir mal ![[]](/images/popup.gif) das in aller Ruhe durch
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Do 22.07.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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