Konvergenzradien < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:44 Sa 22.03.2008 | | Autor: | tobbeu |
| Aufgabe | | [mm] 1-z+\bruch{1*3}{1*2}z^2-\bruch{1*3*5}{1*2*3}z^3+\bruch{1*3*5*7}{1*2*3*4}z^4-+... [/mm] |
Hallo,
man soll bei dieser Aufgabe den Konvergenzradius berechnen. Laut Lösung soll man mit der Formel von Euler das Ergebnis [mm] \bruch{1}{2} [/mm] anscheinend "gleich sehen können".
Ich seh's jedenfalls nicht ;)
nach Euler gilt ja: [mm] R=\limes_{k\rightarrow\infty} |\bruch{a_k}{a_k+1}|
[/mm]
das k'te Glied [mm] a_k [/mm] sieht meiner Meinung nach so aus:
[mm] a_k=\bruch{1*3*5*...*(2k-1)}{1*2*3*...*(k-1)*k} [/mm] nun kürzt sich im Zähler alles weg und im Nenner bleiben alle geraden Zahlen stehen.
also bleibt doch dann übrig [mm] a_k=\bruch{1}{(2k)!} [/mm] aber wenn ich das in die Formel einsetze und k [mm] \to \infty [/mm] laufen lasse, kommt [mm] \infty [/mm] raus...
Wo liegt mein Fehler?
Besten Dank!!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt...
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Hallo tobbeu,
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> [mm]1-z+\bruch{1*3}{1*2}z^2-\bruch{1*3*5}{1*2*3}z^3+\bruch{1*3*5*7}{1*2*3*4}z^4-+...[/mm]
> Hallo,
> man soll bei dieser Aufgabe den Konvergenzradius
> berechnen. Laut Lösung soll man mit der Formel von Euler
> das Ergebnis [mm]\bruch{1}{2}[/mm] anscheinend "gleich sehen
> können".
> Ich seh's jedenfalls nicht ;)
>
> nach Euler gilt ja: [mm]R=\limes_{k\rightarrow\infty} |\bruch{a_k}{a_k+1}|[/mm]
>
> das k'te Glied [mm]a_k[/mm] sieht meiner Meinung nach so aus:
> [mm]a_k=\bruch{1*3*5*...*(2k-1)}{1*2*3*...*(k-1)*k}[/mm] nun kürzt
> sich im Zähler alles weg und im Nenner bleiben alle geraden
> Zahlen stehen.
> also bleibt doch dann übrig [mm]a_k=\bruch{1}{(2k)!}[/mm] aber wenn
> ich das in die Formel einsetze und k [mm]\to \infty[/mm] laufen
> lasse, kommt [mm]\infty[/mm] raus...
>
> Wo liegt mein Fehler?
Du hast nur ein Glied betrachtet.
Nach Euler mußt Du den Quotienten des k-ten Gliedes [mm]a_{k}[/mm] und des Folgegliedes [mm]a_{k+1}[/mm] betrachten.
> Besten Dank!!
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt...
Gruß
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:17 Sa 22.03.2008 | | Autor: | ullim |
Hi,
ich denke für [mm] a_k [/mm] gilt
[mm] a_k [/mm] = [mm] \bruch{(2k)!}{k!k!2^k}
[/mm]
also
[mm] \bruch{a_k}{a_{k+1}}=\bruch{(2k)!2^{k+1}(k+1)!(k+1)!}{k!k!2^k(2k+2)!}=\bruch{2*(k+1)^2}{(2k+1)(2k+2)}=\bruch{2(1+\bruch{1}{k})^2}{(2+\bruch{1}{k})(2+\bruch{2}{k})}
[/mm]
also gilt [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{a_k}{a_{k+1}}=\bruch{1}{2}
[/mm]
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:00 Sa 22.03.2008 | | Autor: | tobbeu |
Danke,
gibt es auch eine Möglichkeit das einfacher rauszubekommen?
Ich wüsste nicht, wie ich in einer Klausur auf so einen Term für [mm] a_k [/mm] kommen würde...
mein Vorschlag für [mm] a_k [/mm] ist sowieso falsch wie ich gerade gesehen hab. Das was ich bräuchte ist [mm] a_k=\bruch{1}{alle geraden Zahlen}.
[/mm]
Ist diese Überlegung zielführend? Ich weiß nicht wie ich das formal hinschreiben könnte...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:34 Sa 22.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was du falsch machst ist, erst mal [mm] a_k [/mm] hinzuschreiben! das musst du auch nicht so wie Ullim umschreiben, sondern mit den Pünktchen wie am Anfang des ersten postings.
Dann mit dem Kehrwert von [mm] a_{k+1} [/mm] multipl. erst dann kürzen! Da [mm] a_k [/mm] und [mm] a_{k+1}
[/mm]
so viele gemeinsame Faktoren haben sollte man sie direkt dividieren und nicht versuchen zu vereinfachen. Dann gehts auch in ner Klausur schnell!
(nebenbei (2k)! ist nicht das Produkt aller geraden Zahlen! sondern aller Zahlen bis 2k)
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:19 Sa 22.03.2008 | | Autor: | tobbeu |
Danke, Fehler gefunden. Ich hatte alles genau so, nur habe ich übersehen, dass sich noch etwas mehr wegkürzt, was in der Pünktchenschreibweise mit drin versteckt war ;)
Danke vielmals für die Hilfe!
Tobi
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