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| Aufgabe 1 | [mm] \summe_{k=0}(-1)^k*(1/(2k)!)*x^k
[/mm]
Berechnen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe(s.o.) |
| Aufgabe 2 | [mm] \summe_{k=0} (n+2)*x^n
[/mm]
Berechnen Sie den Konvergenzradius der Reihe (s.o.) |
Hallo!!
So, ich hoff mal, dass ich das mit dem Formeleditor richtig gemacht hab, is meine erste Frage hier...
Es geht um Konvergenzradien. Im Grunde genommen, verstehe ich scho, wie man diese grundsaetzlich berechnet... allerdings ist mir eins nicht so klar...
Bei der bestimmung von [mm] a_{n} [/mm] wird manchmal das x mithineeingenommen, und manchmal weggelassen.
So wird bei den oben genannten Beispielen der Konvergenzradius bei der ersten Aufgabe durch das Quotientenkriterium bestimmt, wobei [mm] a_{n}=(̵ 1)^k*(1/(2k)!)*x^k
[/mm]
Die zweite Aufgabe wird (laut Musterloesung) auch mit dem Quotientenkriterium bestimmt, wobei man hier das [mm] x^n [/mm] einfach weglaesst....
Habe jetzt schon echt lange versucht, etwas herauszufinden, leider vergebens... Waere sehr dankbar ueber einen Hinweis!!!
Danke!! Verenav85
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Verena und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> [mm]\summe_{k=0}(-1)^k*(1/(2k)!)*x^k[/mm]
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> Berechnen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe(s.o.)
> [mm]\summe_{k=0} (n+2)*x^n[/mm]
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> Berechnen Sie den Konvergenzradius der Reihe (s.o.)
> Hallo!!
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> So, ich hoff mal, dass ich das mit dem Formeleditor richtig
> gemacht hab, is meine erste Frage hier...
Schon ziemlich gut!
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> Es geht um Konvergenzradien. Im Grunde genommen, verstehe
> ich scho, wie man diese grundsaetzlich berechnet...
> allerdings ist mir eins nicht so klar...
>
> Bei der bestimmung von [mm]a_{n}[/mm] wird manchmal das x
> mithineeingenommen, und manchmal weggelassen.
>
> So wird bei den oben genannten Beispielen der
> Konvergenzradius bei der ersten Aufgabe durch das
> Quotientenkriterium bestimmt, wobei [mm]a_{n}=(̵ 1)^k*(1/(2k)!)*x^k[/mm]
>
> Die zweite Aufgabe wird (laut Musterloesung) auch mit dem
> Quotientenkriterium bestimmt, wobei man hier das [mm]x^n[/mm]
> einfach weglaesst....
>
> Habe jetzt schon echt lange versucht, etwas herauszufinden,
> leider vergebens... Waere sehr dankbar ueber einen
> Hinweis!!!
Nun, bei Potenzreihen lässt man es weg.
Versuchen wir mal, das einzusehen:
Sagen wir, wir haben eine (Potenz-)Reihe [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n\cdot{}x^n$
[/mm]
Dann ist mit dem QK für "normale" Reihen zu berechnen:
[mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}\cdot{}x^{n+1}}{a_n\cdot{}x^n}\right|=|x|\cdot{}\underbrace{\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|}_{:=r}$
[/mm]
Und gem. dem QK liegt Konvergenz vor, falls das gegen einen Wert $q$ mit $q<1$ konvergiert.
Also [mm] $|x|\cdot{}r<1$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow |x|<\frac{1}{r}$
[/mm]
Dh. die Potenzreihe ist konvergent für [mm] $|x|<\frac{1}{r}$ [/mm] (wobei man [mm] $\frac{1}{0}:=\infty$ [/mm] und [mm] $\frac{1}{\infty}:=0$ [/mm] festlegt)
Und das [mm] $\frac{1}{r}$ [/mm] ist genau der GW des Kehrwertes oben, also [mm] $\frac{1}{r}=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$
[/mm]
Daher kannst du für eine Potenzreihe [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n\cdot{}x^n$ [/mm] den Konvergenzradius [mm] $R:=\frac{1}{r}=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$ [/mm] berechnen und musst dabei das x "nicht mit in die Formel nehmen"
Ohne dich um das x zu kümemrn, liefert es dir Konvergenz für $|x|<R$
Dieses mit dem QK eng verwandte Kriterium ist aber etwas mit Vorsicht zu genießen, in vielen Fällen kann man den Quotienten [mm] $\frac{a_n}{a_{n+1}}$ [/mm] nicht bilden, weil man dabei durch 0 teilen würde.
Von daher gibt es auch das Kriterium von Cauchy-Hadamard, das dem WK sehr ähnelt.
Damit berechnet sich der Konvergenzradius [mm] $R:=\frac{1}{\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}$
[/mm]
Die Herleitung aus dem WK läuft ganz analog ... (die Festlegungen [mm] $\frac{1}{0}=\infty$ [/mm] und [mm] $\frac{1}{\infty}=0$ [/mm] bleiben auch ...)
All dies gilt natürlich auch für allgemeinere Potenzreihen, nicht nur für solche mit Mittelpunkt 0
Also [mm] $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n\cdot{}(x-x_0)^n$
[/mm]
Der Konvergenzradius $R$ berechnet sich ganz analog zu den obigen Bemerkungen und gibt dann Konvergenz für [mm] $|x-x_0|
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> Danke!! Verenav85
>
>
> # Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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ok, das klingt alles einleuchtend, danke!!
Allerdings ist es bei meinen genannten Aufgaben gerade die Potenzreihe, bei der das x beim Bestimmen des Konvergenzradius mithinein genommen wurde....ist das hier evtl. eine Ausnahme? Hab schon meine ganzen Aufgaben durchgeschaut, und da ist das Kriterium, dass man bei potenzreihen das x im Radius weglassen kann, leider nicht immer passend....
lg
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Hallo nochmal,
> ok, das klingt alles einleuchtend, danke!!
>
> Allerdings ist es bei meinen genannten Aufgaben gerade die
> Potenzreihe, bei der das x beim Bestimmen des
> Konvergenzradius mithinein genommen wurde....ist das hier
> evtl. eine Ausnahme? Hab schon meine ganzen Aufgaben
> durchgeschaut, und da ist das Kriterium, dass man bei
> potenzreihen das x im Radius weglassen kann, leider nicht
> immer passend....
nochmal: bei Potenzreihen lässt man das $x$ bzw. [mm] $x-x_0$ [/mm] bei der Berechnung des Konvergenzradius außen vor.
Das sind die beiden Kriterien, die ich dir oben hergeleitet habe (Cauchy-Hadamard und das andere (wie QK) heißt - glaube ich - Krit. von Euler)
Du kannst natürlich jede Potenzreihe als "ganz normale" Reihe auffassen und dann das "normale" QK/WK hernehmen.
Etwa: [mm] $\sum\limita_{n=0}^{\infty}a_n\cdot{}(x-x_0)^n [/mm] \ =: \ [mm] \sum\limits_{n=0}^{\infty}b_n$
[/mm]
Damit machst du aus ner Potenzreihe ne ganz normale Reihe mit [mm] $b_n:=a_n\cdot{}x^n$
[/mm]
Das ist dir überlassen, ist aber mehr Schreibarbeit, das $x$ bzw. [mm] $x-x_0$ [/mm] immer mitzuschleppen, brauchen tust du es nicht, denn es gibt ja die erwähnten Konvergenzkritereien speziell für Potenzreihen
Gruß
schachuzipus
>
> lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:41 Fr 11.09.2009 | | Autor: | Verenav85 |
ok, dann passts. super. vielen lieben dank fuer die schnelle und professionelle hilfe!
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