Konvergenzradien Taylor-Reihe < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:04 Mi 14.11.2012 | | Autor: | blubblub |
| Aufgabe | Geben Sie die Konvergenzradien der Taylor-Reihen von f und g im Entwicklungspunkt
[mm] z_f [/mm] , bzw. [mm] z_g [/mm] an, ohne die Taylor-Reihe zu berechnen, für
a) f(z)= [mm] \bruch{1}{(z-2) (z^2+10)^2} [/mm] im Punkt [mm] z_f=0
[/mm]
b) g(z)= Log(z) im Punkt [mm] z_g= [/mm] -3+i4 |
Guten Abend
bin im Moment an der oberen Aufgabe dran. Leider habe ich garkeine Idee, wie ich KR ohne der Taylor-Reihe in den Entwicklungspunkten berechnen soll
danke schon mal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:25 Do 15.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Geben Sie die Konvergenzradien der Taylor-Reihen von f und
> g im Entwicklungspunkt
> [mm]z_f[/mm] , bzw. [mm]z_g[/mm] an, ohne die Taylor-Reihe zu berechnen,
> für
>
> a) f(z)= [mm]\bruch{1}{(z-2) (z^2+10)^2}[/mm] im Punkt [mm]z_f=0[/mm]
>
> b) g(z)= Log(z) im Punkt [mm]z_g=[/mm] -3+i4
> Guten Abend
>
> bin im Moment an der oberen Aufgabe dran. Leider habe ich
> garkeine Idee, wie ich KR ohne der Taylor-Reihe in den
> Entwicklungspunkten berechnen soll
Dafür hattet Ihr einen Satz !
Sei D eine offene Teilmenge von [mm] \IC [/mm] und f holomorph auf D. Weiter lasse sich f auf keine größere offene Menge holomorph fortsetzen.
Ist dann [mm] z_0 \in [/mm] D und [mm] r:=dist(z_0, \partial [/mm] D), so hat die Potenzreihenentwicklung von f um [mm] z_0 [/mm] den Konvergenzradius r.
FRED
>
> danke schon mal
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:26 Do 15.11.2012 | | Autor: | blubblub |
meinst du damit die den Satz über die Potenzreihenentwicklung??
aber dieser Satz beschreibt doch die Taylor-Reihe
Satz:
Sei U [mm] \subset \IC [/mm] offen, [mm] z_0 \in [/mm] U und R= sup{r>0; [mm] K_r (z_0) \subset [/mm] U}
Ist f holomorph, so ist f um [mm] z_0 [/mm] in einer Potenzreihe entwickelbar f(z)= [mm] \sum\limits_{k=o}^\infty a_n (z-z_0)
[/mm]
mit [mm] a_n= \bruch{f^{(n)} (z_0)}{n!} [/mm] für n [mm] \in \IN
[/mm]
....
Für 0<r<R gilt darüber hinaus die Integralformel
[mm] a_n= \bruch{1}{2 \pi i} \integral \bruch{f(c)}{(c-z_0)^{(n+1)}} [/mm]
Das Integral ist über [mm] K_r (z_0)
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:30 Do 15.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> meinst du damit die den Satz über die
> Potenzreihenentwicklung??
Ja
> aber dieser Satz beschreibt doch die Taylor-Reihe
Was meinst Du den damit ??
>
> Satz:
> Sei U [mm]\subset \IC[/mm] offen, [mm]z_0 \in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
U und R= sup{r>0; [mm]K_r (z_0) \subset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> U}
>
> Ist f holomorph, so ist f um [mm]z_0[/mm] in einer Potenzreihe
> entwickelbar f(z)= [mm]\sum\limits_{k=o}^\infty a_n (z-z_0)[/mm]
Ja, und fehlt in Deinem Zitat nicht, dass der Konvergenzradius der Potenzreihe [mm] \ge [/mm] R ist.
FRED
>
> mit [mm]a_n= \bruch{f^{(n)} (z_0)}{n!}[/mm] für n [mm]\in \IN[/mm]
> ....
>
> Für 0<r<R gilt darüber hinaus die Integralformel
> [mm]a_n= \bruch{1}{2 \pi i} \integral \bruch{f(c)}{(c-z_0)^{(n+1)}}[/mm]
>
> Das Integral ist über [mm]K_r (z_0)[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:51 Do 15.11.2012 | | Autor: | blubblub |
Hey bei uns steht in der nächsten Bemerkung das KR der Potenzreihe kann größer als R sein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:00 Do 15.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hey bei uns steht in der nächsten Bemerkung das KR der
> Potenzreihe kann größer als R sein
Sag ich doch
FRED
>
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:56 Do 15.11.2012 | | Autor: | blubblub |
> > meinst du damit die den Satz über die
> > Potenzreihenentwicklung??
>
> Ja
>
>
> > aber dieser Satz beschreibt doch die Taylor-Reihe
>
> Was meinst Du den damit ??
siehe Ergänzung zum Satz
> > Satz:
> > Sei U [mm]\subset \IC[/mm] offen, [mm]z_0 \in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}"
> müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil
> ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> U und R= sup{r>0; [mm]K_r (z_0) \subset[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und
> "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein
> Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
>
> > U}
> >
> > Ist f holomorph, so ist f um [mm]z_0[/mm] in einer Potenzreihe
> > entwickelbar f(z)= [mm]\sum\limits_{k=o}^\infty a_n (z-z_0)[/mm]
>
>
> Ja, und fehlt in Deinem Zitat nicht, dass der
> Konvergenzradius der Potenzreihe [mm]\ge[/mm] R ist.
>
>
> FRED
> >
> > mit [mm]a_n= \bruch{f^{(n)} (z_0)}{n!}[/mm] für n [mm]\in \IN[/mm]
> >
> ....
Ergänzung: Die Reihe ist die Taylor-Reihe von f um [mm] z_0. [/mm] Sie konvegiert auf [mm] K_r (z_0) [/mm] lokal gleichmäßig.
> >
> > Für 0<r<R gilt darüber hinaus die Integralformel
> > [mm]a_n= \bruch{1}{2 \pi i} \integral \bruch{f(c)}{(c-z_0)^{(n+1)}}[/mm]
> >
> > Das Integral ist über [mm]K_r (z_0)[/mm]
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:43 Do 15.11.2012 | | Autor: | blubblub |
Also
ich würde die Integralformel nutzen und den CIF für Ableitungen benutzen um alles auszurechen
jedoch scheitere ich schon an der Partialbruchzerlegung
würdest du mir einen Ansatz geben
vielen lieben dank für deine Hilfe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:05 Do 15.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Also
>
> ich würde die Integralformel nutzen und den CIF für
> Ableitungen benutzen um alles auszurechen
>
> jedoch scheitere ich schon an der Partialbruchzerlegung
>
>
> würdest du mir einen Ansatz geben
Mann, mann, wieviele Winke mit Gatenzäunen brauchst Du noch ? Zu rechnen gibts da kaum was ! Nur denken.
Nehmen wir uns mal
f(z)= $ [mm] \bruch{1}{(z-2) (z^2+10)^2} [/mm] $ im Punkt $ [mm] z_0=0 [/mm] $
vor.
Der Nenner hat Nullstellen in [mm] z_1=2, z_2=i* \wurzel{10} [/mm] und [mm] z_3=-i* \wurzel{10}.
[/mm]
Damit ist f holomorph auf D:= [mm] \IC \setminus \{z_1,z_2,z_3\}
[/mm]
Kann man f auf eine offene Menge U holomorph fortsetzen, für die gilt: D ist echte Teilmenge von U ?
Nein !!
Mal Dir mal die komplexe Ebene auf und darin die Punkte [mm] z_1,z_2,z_3.
[/mm]
Es ist (mit [mm] z_0=0) [/mm] : [mm] |z_0-z_1|=2 <|z_0-z_j| [/mm] (j=2,3)
Ist Dir das klar ?
Wenn Du jetzt die Pozenzreihenentwicklung von f um [mm] z_0 [/mm] betrachtest und den Satz, den ich Dir die ganze Zeit ans Herz gelegt habe, beachtest, so folgt:
der Konvergenzradius R der Potenzreihe ist [mm] \ge2.
[/mm]
Kann R>2 sein ? Nein ! Den anderenfalls hätte f eine holomorphe Fortsetzung in den Punkz z=2 hinein. Das geht aber nicht.
Fazit: R=2.
FRED
>
> vielen lieben dank für deine Hilfe
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:32 Do 15.11.2012 | | Autor: | blubblub |
sorry, dass ich dumme Fragen stelle... merke es im nachhinein auch, dass sie nicht sein müssten
ich danke dir für deine Hilfe 
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