Konvergenzradius+menge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:36 Do 06.12.2007 | | Autor: | Sashman |
| Aufgabe | | Gegenben sei folgende Reihe [mm] $\sum_{n=1}^{\infty}(x\cos\frac{1}{n}-\cos\frac{-1}{n})^n$. [/mm] Geben Sie den Entwicklungspunkt a sowie die Koeffizienten [mm] $a_n$ $n\in\IN$ [/mm] an. Bestimmen Sie Konvergenzradius und Konvergenzmenge der Reihe. |
Moin an alle!
Was ich bisher getan habe:
habe erstmal die Reihe derart umgestellt das die Potenzreihe zu erkennen ist:
[mm] $\sum_{n=1}^{\infty}(x\cos\frac{1}{n}-\cos\frac{-1}{n})^n=\sum_{n=1}^{\infty}(x-1)^n(\cos\frac{1}{n})^n$
[/mm]
und somit Entwicklungspunkt $a=1$ und [mm] $a_n:=(\cos\frac{1}{n})^n$. [/mm] Nun Konvergenzradius mit der hadamardschen Gleichung bestimmt:
[mm] $r=\frac{1}{\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\sqrt[n]{a_n}}\to [/mm] 1$
also konvergiert die Reihe in $]0,2[$ punktweise. bleiben die Randpunkte zu betrachten. Es ist also die Konvergenz der beiden Reihen:
[mm] $\sum_{n=1}^\infty(-1)^n(\cos\frac{1}{n})^n$ [/mm] und [mm] $\sum_{n=1}^\infty(\cos\frac{1}{n})^n$ [/mm] zu prüfen.
Und hier liegt der Hund begraben. Ich schaffe es einfach nicht die Reihen günstig abzuschätzen. Weder gelingt es mir das monotone Wachsen von [mm] $(a_n)=(\cos\frac{1}{n})^n$ [/mm] zu zeigen noch das [mm] $(a_n)=(\cos\frac{1}{n})^n$ [/mm] gegen $1$ für [mm] $n\to\infty$
[/mm]
beides würde ja die vermutete Divergenz der Reihen bedeuten.
Ich hoffe von euch weiß jemand Rat
mFg Sashman
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:52 Fr 07.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sashman!
Schätze den Cosinus mittels der Reihendarstellung ab:
[mm] $$\red{\cos(x)} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k*\bruch{x^{2k}}{(2k)!} [/mm] \ = \ [mm] 1-\bruch{x^2}{2!}+\bruch{x^4}{4!}-\bruch{x^6}{6!}\pm [/mm] ... \ [mm] \red{\ge \ 1-\bruch{x^2}{2!}}$$
[/mm]
Damit wird:
[mm] $$\left[\cos\left(\bruch{1}{n}\right)\right]^n [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] \left[1-\bruch{\left(\bruch{1}{n}\right)^2}{2!}\right]^n [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 15:51 Sa 08.12.2007 | | Autor: | Sashman |
Hallo Loddar!
> Damit wird:
> [mm]\left[\cos\left(\bruch{1}{n}\right)\right]^n \ \ge \ \left[1-\bruch{\left(\bruch{1}{n}\right)^2}{2!}\right]^n \ = \ ...[/mm]
so gemeint??
[mm] $\left[\cos(\frac{1}{n})\right]^n\ge\left(1-\frac{1}{2n^2}\right)^n\ge(1-\frac{1}{n})^n\stackrel{n\to\infty}{\to}\frac{1}{e}$ [/mm]
somit ist [mm] $(a_n)=(\cos\frac{1}{n})^n$ [/mm] keine Nullfolge und das Trivialkriterium für Reihenkonvergenz nicht erfüllt.
Die Abschätzung ist zwar für die Aufgabe ausreichend - ich denke aber das du das nicht so meintest. Der Fehler scheint mir einfach zu groß da [mm] $(a_n)>0,9$ [/mm] und [mm] $\frac{1}{e}\approx0,36$ [/mm] ist. Desweiteren scheint auch 'deine' Folge gegen 1 zu laufen für [mm] $n\to\infty$ [/mm] und daraus folgend wäre dann auch der GW von [mm] $(a_n)$ [/mm] gezeigt. Sollte ich hier richtig liegen?
> Gruß
> Loddar
Gruß zurück Sashman
Edit:
Doch noch ein zweiter Ansatz:
Da [mm] $\frac{1}{2n^2}<1$ $\forall n\in\IN$ [/mm] gilt mit J.Bernoullis Ungleichung:
[mm] $\left(1-\frac{1}{2n^2}\right)^n\ge1-n*\frac{1}{2n^2}=1-\frac{1}{2n}\stackrel{n\to\infty}{\to}1$
[/mm]
hab haldoch taube Augen
Gruß S.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:39 Mo 10.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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