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Konvergenzradius: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:01 So 04.01.2015
Autor: Morph007

Aufgabe
Bestimmen Sie den Konvergenzradius von [mm]P(x) = \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{3*x^2}{ln(n^n)} [/mm]

Mit Hilfe von

[mm]r=\lim_{n \to \infty}{\bruch{a_n}{a_{n+1}}[/mm]

mit

[mm] a_n = \bruch{3}{ln(n^n)} [/mm]

und

[mm] a_{n+1}= \bruch{3}{ln((n+1)^{n+1})} [/mm]

erhalte ich:

[mm]r=\lim_{n \to \infty}{\bruch{ln((n+1)^{n+1})}{ln(n^n)}[/mm]

Die Lösung sollte sein, dass die Reihe zwischen -1 und 1 konvergent ist, also [mm]r=\left| 1 \right| [/mm]

Ich komme allerdings nicht auf die nötigen Zwischenschritte!

Ein Kommolitone von mir hat die Logarithmen ganz merkwürdig aufgelöst; sein erster Zwischenschritt (nach dem Kürzen der beiden 3) ist:

[mm]\bruch{\bruch{1}{(n+1)^{n+1}}*(n+1)*(n+1)^n}{\bruch{1}{n^n}*n*n^{n-1}}[/mm]

Der Term kürzt sich ja logischerweise zu 1 weg.
Aber wie kommt er darauf den Logarithmus so aufzulösen? Ich dachte den Logarithmus naturalis kann man nur mit der Exponentialfunktion "auflösen".

        
Bezug
Konvergenzradius: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:31 So 04.01.2015
Autor: andyv

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hallo,

wahrscheinlich wollte dein Kommilitone l'Hospital anwenden. Bei der Ableitung ist allerdings einiges schiefgegangen.

Jedenfalls ist nach ln-Gesetzen
$ r=\lim_{n \to \infty}{\bruch{(n+1)ln(n+1)}{nln(n)}=\lim_{n \to \infty}\frac{n+1}{n}\lim_{n \to \infty}\frac{\ln(n+1)}{\ln n} $.

Liebe Grüße

Bezug
                
Bezug
Konvergenzradius: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:08 So 04.01.2015
Autor: Morph007

Okay, dachte ich mir schon, dass da was schief gelaufen ist.

Wenn ich dann beide Limes einzeln betrachte erhalte ich doch:


$ [mm] \lim_{n \to \infty}\frac{n+1}{n} =\lim_{n \to \infty} [/mm] 1 [mm] +\frac{1}{n} [/mm] =  1 + 0 = 1 $

und

$ [mm] \lim_{n \to \infty}\frac{\ln(1+n)}{\ln n} [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty}\frac{\ln(1) + ln(\frac{n}{1})}{\ln n} [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty}\frac{\ln(1) + ln(n)}{\ln n} [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty}\frac{\ln(1)}{\ln n}+1 [/mm] = [mm] \frac{0}{\infty} [/mm] + 1 = 1 $

und damit

$ r = 1*1 = 1$

korrekt?

Bezug
                        
Bezug
Konvergenzradius: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:39 So 04.01.2015
Autor: DieAcht

Hallo Morph007!


> [mm]\lim_{n \to \infty}\frac{n+1}{n} =\lim_{n \to \infty} 1 +\frac{1}{n} = 1 + 0 = 1[/mm]

Besser:

      [mm] \lim_{n \to \infty}\frac{n+1}{n}=\lim_{n \to \infty}\left(1 +\frac{1}{n}\right)=1. [/mm]

(Ist dir der Unterschied klar?)

> [mm]\lim_{n \to \infty}\frac{\ln(1+n)}{\ln n} = \lim_{n \to \infty}\frac{\ln(1) + ln(\frac{n}{1})}{\ln n} = \lim_{n \to \infty}\frac{\ln(1) + ln(n)}{\ln n} = \lim_{n \to \infty}\frac{\ln(1)}{\ln n}+1 = \frac{0}{\infty} + 1 = 1[/mm]

Das erste Gleichheitszeichen ist schon falsch. Im Allgemeinen ist

      [mm] \ln(x+y)\not=\ln(x)+\ln(y). [/mm]

Probiere es noch einmal.

> [mm]r = 1*1 = 1[/mm]

Das Ergebnis stimmt.


Gruß
DieAcht

Bezug
                                
Bezug
Konvergenzradius: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:54 So 04.01.2015
Autor: Morph007


> Hallo Morph007!
>  
>
> > [mm]\lim_{n \to \infty}\frac{n+1}{n} =\lim_{n \to \infty} 1 +\frac{1}{n} = 1 + 0 = 1[/mm]
>  
> Besser:
>  
> [mm]\lim_{n \to \infty}\frac{n+1}{n}=\lim_{n \to \infty}\left(1 +\frac{1}{n}\right)=1.[/mm]
>  
> (Ist dir der Unterschied klar?)

Ich glaube ja! Durch deine Klammer wird deutlich, dass zum einen [mm] \frac{1}{n} [/mm] eben nicht gleich 0 ist, sondern nur gegen 0 strebt und zum anderen der Grenzwert der Summe zu betrachten ist und nicht nur der Grenzwert von 1 gegen Unendlich. Richtig?

>  
> > [mm]\lim_{n \to \infty}\frac{\ln(1+n)}{\ln n} = \lim_{n \to \infty}\frac{\ln(1) + ln(\frac{n}{1})}{\ln n} = \lim_{n \to \infty}\frac{\ln(1) + ln(n)}{\ln n} = \lim_{n \to \infty}\frac{\ln(1)}{\ln n}+1 = \frac{0}{\infty} + 1 = 1[/mm]
>  
> Das erste Gleichheitszeichen ist schon falsch. Im
> Allgemeinen ist
>  
> [mm]\ln(x+y)\not=\ln(x)+\ln(y).[/mm]
>  

Aber es gilt doch:

[mm] $\ln(x+y) [/mm] = [mm] \ln(x) [/mm] + [mm] \ln(\frac{y}{x})$ [/mm]

Hier ist mein x=1 und y=n , damit erhalte ich doch [mm] $\ln(1) [/mm] + [mm] \ln(\frac{n}{1})$ [/mm] , was doch gleich [mm] $\ln(1) [/mm] + [mm] \ln(n)$ [/mm] ist oder nicht?


Bezug
                                        
Bezug
Konvergenzradius: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:03 So 04.01.2015
Autor: DieAcht


> > > [mm]\lim_{n \to \infty}\frac{n+1}{n} =\lim_{n \to \infty} 1 +\frac{1}{n} = 1 + 0 = 1[/mm]
>  
> >  

> > Besser:
>  >  
> > [mm]\lim_{n \to \infty}\frac{n+1}{n}=\lim_{n \to \infty}\left(1 +\frac{1}{n}\right)=1.[/mm]
>  
> >  

> > (Ist dir der Unterschied klar?)
>  
> Ich glaube ja! Durch deine Klammer wird deutlich, dass zum
> einen [mm]\frac{1}{n}[/mm] eben nicht gleich 0 ist, sondern nur
> gegen 0 strebt und zum anderen der Grenzwert der Summe zu
> betrachten ist und nicht nur der Grenzwert von 1 gegen
> Unendlich. Richtig?

Nein, durch die Klammer wird klar, dass der zweite Summand dazu-
gehört. Vielleicht noch einmal genauer:

      [mm] \lim_{n \to \infty}\frac{n+1}{n}=\lim_{n \to \infty}\left(1 +\frac{1}{n}\right)\overset{\text{Grenzwertsätze}}{=}\lim_{n\to\infty}1+\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=1+0=1. [/mm]

> > > [mm]\lim_{n \to \infty}\frac{\ln(1+n)}{\ln n} = \lim_{n \to \infty}\frac{\ln(1) + ln(\frac{n}{1})}{\ln n} = \lim_{n \to \infty}\frac{\ln(1) + ln(n)}{\ln n} = \lim_{n \to \infty}\frac{\ln(1)}{\ln n}+1 = \frac{0}{\infty} + 1 = 1[/mm]
>  
> >  

> > Das erste Gleichheitszeichen ist schon falsch. Im
> > Allgemeinen ist
>  >  
> > [mm]\ln(x+y)\not=\ln(x)+\ln(y).[/mm]
>  >  
>
> Aber es gilt doch:
>
> [mm]\ln(x+y) = \ln(x) + \ln(\frac{y}{x})[/mm]
>

Nein. Im Allgemeinen ist

      [mm] \ln(x+y)=\ln(x(1+\frac{y}{x}))=\ln(x)+\ln(1+\frac{y}{x}). [/mm]

> Hier ist mein x=1 und y=n , damit erhalte ich doch [mm]\ln(1) + \ln(\frac{n}{1})[/mm]
> , was doch gleich [mm]\ln(1) + \ln(n)[/mm] ist oder nicht?


Bezug
                                                
Bezug
Konvergenzradius: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:19 So 04.01.2015
Autor: Morph007

Zum ersten Teil:
Ja genau das wollte ich eigentlich mit meinem Gestammel vorher ausdrücken :)


Zum zweiten Teil:
Das war mir direkt nach dem Schreiben auch aufgefallen :(
Dann wäre es ja klüger das folgendermaßen zu schreiben:

[mm] $\lim_{n \to \infty}\frac{\ln(n) + ln( 1+ \frac{1}{n})}{\ln n} [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty}(1+\frac{ln( 1+ \frac{1}{n})}{\ln n})$ [/mm]

Auch da strebt das [mm] \frac{1}{n} [/mm] gegen Null womit im Zähler nur noch [mm] \ln(1) [/mm] und somit Null steht.

Richtig?


Bezug
                                                        
Bezug
Konvergenzradius: sieht gut aus
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:23 So 04.01.2015
Autor: Loddar

Hallo Morph!


> Dann wäre es ja klüger das folgendermaßen zu
> schreiben:

> [mm]\lim_{n \to \infty}\frac{\ln(n) + ln( 1+ \frac{1}{n})}{\ln n} = \lim_{n \to \infty}(1+\frac{ln( 1+ \frac{1}{n})}{\ln n})[/mm]

>

> Auch da strebt das [mm]\frac{1}{n}[/mm] gegen Null womit im Zähler
> nur noch [mm]\ln(1)[/mm] und somit Null steht.

> Richtig?

[daumenhoch] Was bedeutet das für den gesamten gesuchten Grenzwert?


Gruß
Loddar

Bezug
                                                                
Bezug
Konvergenzradius: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:28 So 04.01.2015
Autor: Morph007

Wenn ich mich nicht irre müsste es dann lauten:

[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{0}{\ln(n)}) [/mm] = 1+ 0$

Weil Null geteilt durch Unendlich gleich Null ist.

Somit bin ich dann für den Konvergenzradius wieder bei meinem Ergebnis von $r = 1*1$

Bezug
                                                                        
Bezug
Konvergenzradius: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:59 Mo 05.01.2015
Autor: DieAcht


> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{0}{\ln(n)}) = 1+ 0[/mm]

Falsch. Du kannst nicht einfach den Grenzwert einfach so ziehen
wann und wo du willst. :-)

> Weil Null geteilt durch Unendlich gleich Null ist.

Nein. Es ist zwar

       [mm] \lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{\ln( 1+ \frac{1}{n})}{\ln n}\right)=1, [/mm]

aber die mathematische Begründung fehlt dir weiterhin. Es ist

      [mm] $\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{\ln( 1+ \frac{1}{n})}{\ln n}\right)=\lim_{n \to \infty}\left(1+\ln( 1+ \frac{1}{n})*\frac{1}{\ln n}\right)$. [/mm]

Wenn du es jetzt genau begründen willst, dann kannst du die
Stetigkeit von [mm] \ln [/mm] bzw. die Grenzwertsätze benutzen.

Bezug
                                                                                
Bezug
Konvergenzradius: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:37 Mo 05.01.2015
Autor: Morph007

Sollte es denn nicht für die Lösung am Ende hinreichend sein, dass [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{\ln(n)}$ [/mm] gegen Null strebt und damit der Grenzwert des gesamten Ausdrucks 1 ist?

Bezug
                                                                                        
Bezug
Konvergenzradius: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:01 Mo 05.01.2015
Autor: DieAcht

Es ist

       [mm] $\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{\ln( 1+ \frac{1}{n})}{\ln n}\right)=\lim_{n \to \infty}\left(1+\ln( 1+ \frac{1}{n})\cdot{}\frac{1}{\ln n}\right)=1+\left(\lim_{n \to \infty}\ln( 1+ \frac{1}{n})*\lim_{n \to \infty}\frac{1}{\ln n}\right)=1+\left(\ln( 1+\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n})*\lim_{n \to \infty}\frac{1}{\ln n}\right)=1+\left(\ln(1+0)*0\right)=1$. [/mm]

Das kann man natürlich noch weiter zerlegen, aber das und auch
die jeweiligen Begründungen über den Gleichheitszeichen über-
lasse ich dir.

Bezug
                                                                                                
Bezug
Konvergenzradius: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:19 Di 06.01.2015
Autor: Morph007

Danke!

Bezug
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