Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:47 So 04.06.2006 | | Autor: | andyb |
| Aufgabe | Bestimme den Konvergenzradius und das Konvergenzintervall für die Potenzreihen. Die Beziehung [mm] \wurzel[k]{k}=1 [/mm] kann ohne Beweis benutzt werden.
a.) [mm] \summe_{k=1}^{ \infty} \bruch{(x-3)^k}{2^kk^2} [/mm] |
Hallo ich versuche gerade diese Aufgabe mit Hife einer Mitschrift nach zu vollziehen.
Nun geht es in der Lösung weiter mit [mm] c_{k}= \bruch{1}{2^kk^2}
[/mm]
Ab diesem Schritt ist mir auch alles klar. Die Cauchy Formel und die gegebene Beiziehung benutzen und man kommt drauf, dass die Folge gegen [mm] \bruch{1}{2} [/mm] geht.
Was mir nur nicht klar ist was mit dem [mm] (x-3)^k [/mm] passiert. Warum wird das einfach zu 1? Kann mir da jmd. weiterhelfen. Danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:32 So 04.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Andy!
> Bestimme den Konvergenzradius und das Konvergenzintervall
> für die Potenzreihen. Die Beziehung [mm]\wurzel[k]{k}=1[/mm] kann
> ohne Beweis benutzt werden.
Das stimmt nicht. Du meinst [mm] $\lim_{k\to\infty} \sqrt[k]{k} [/mm] = 1$!
> a.) [mm]\summe_{k=1}^{ \infty} \bruch{(x-3)^k}{2^kk^2}[/mm]
> Hallo
> ich versuche gerade diese Aufgabe mit Hife einer Mitschrift
> nach zu vollziehen.
>
> Nun geht es in der Lösung weiter mit [mm]c_{k}= \bruch{1}{2^kk^2}[/mm]
>
> Ab diesem Schritt ist mir auch alles klar. Die Cauchy
> Formel und die gegebene Beiziehung benutzen und man kommt
> drauf, dass die Folge gegen [mm]\bruch{1}{2}[/mm] geht.
Du meinst, [mm] $\sqrt[k]{c_k}$ [/mm] geht gegen [mm] $\frac{1}{2}$. [/mm] Du musst bei sowas etwas genauer sein!
> Was mir nur nicht klar ist was mit dem [mm](x-3)^k[/mm] passiert.
> Warum wird das einfach zu 1? Kann mir da jmd. weiterhelfen.
> Danke.
Hast du dir mal die Cauchyformel angeschaut? Sie besagt: Wenn du eine Potenzreihe [mm] $\sum_{k=0}^\infty c_k [/mm] (x - [mm] x_0)^k$ [/mm] hast (mit Entwicklungspunkt [mm] $x_0$), [/mm] dann ist der Konvergenzradius gegeben durch $r := [mm] \frac{1}{\limsup \sqrt[k]{|c_k|}}$, [/mm] d.h. die Reihe konvergiert absolut fuer $x [mm] \in \left]x_0 - r, x_0 + r\right[$ [/mm] und divergiert fuer $|x - [mm] x_0| [/mm] > r$.
LG Felix
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